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Aufgabe 1

Im Jahr 2018 wurden in Nordrhein-Westfalen etwa 390000 praktische Führerscheinprüfungen abgelegt. Der relative Anteil von bestandenen Prüfungen lag in dem Jahr bei etwa 70%. Für eine Fahrschule, in der n praktische Prüfungen durchgeführt werden, beschreibt im Folgenden die Zufallsgröße X jeweils die Anzahl an bestandenen Prüfungen. Es wird vereinfachend angenommen, dass X stets binomialverteilt ist.

Bei einer Fahrschulkette geht man am Standort Düsseldorf für das Jahr 2021 von insgesamt 250 praktischen Führerscheinprüfungen aus. Im Modell wird angenommen, dass X binomialverteilt mit p=0,7 ist.

  1. Ermitteln Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

    E1: „Es werden höchstens 160 praktische Prüfungen bestanden.“

    E2: „Es werden mindestens 80% der praktischen Prüfungen bestanden.“

    E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“

    (8 P)

  2. Im Folgenden ist k eine ganze Zahl mit 0k250.

    (i) Bestimmen Sie für k=165 die Wahrscheinlichkeit P(Xk), dass mindestens k praktische Prüfungen bestanden werden.

    (ii) Beschreiben Sie, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von k verändert wird.

    (iii) Die Wahrscheinlichkeit, für mindestens k bestandene praktische Prüfungen soll kleiner oder gleich 60% sein.

    Ermitteln Sie, wie groß k in diesem Fall mindestens gewählt werden muss.

    (6 P)