B4 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Im Jahr 2018 wurden in Nordrhein-Westfalen etwa $390000$ praktische Führerscheinprüfungen abgelegt. Der relative Anteil von bestandenen Prüfungen lag in dem Jahr bei etwa $70 %$ . Für eine Fahrschule, in der n praktische Prüfungen durchgeführt werden, beschreibt im Folgenden die Zufallsgröße $X$ jeweils die Anzahl an bestandenen Prüfungen. Es wird vereinfachend angenommen, dass X stets binomialverteilt ist.

Bei einer Fahrschulkette geht man am Standort Düsseldorf für das Jahr 2021 von insgesamt $250$ praktischen Führerscheinprüfungen aus. Im Modell wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ ist.

Ermitteln Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“
E2: „Es werden mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“
E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“
(8 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit
E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“
$X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ und $n = 250$ .
Berechne $P (X \leq 160) = binomCdf (250,0.7,0,160) \approx 0,0240$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $0,024$ .
E2: „Es werden mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“
Berechne $80 %$ von $250 \Rightarrow 0,8 \cdot 250 = 200$ .
Dann ist $P (X \geq 200) = binomCdf (250,0.7,200,250) \approx 0,00023$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden werde, beträgt etwa $0,00023$ .
E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung:
$μ = n \cdot p = 250 \cdot 0,7 = 175$ und $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{250 \cdot 0,7 \cdot 0,3} \approx 7,25$
Dann wird gesucht:
$P = 1 - P (175 - 7,25 \leq X \leq 175 + 7,25)$ .
Das ergibt gerundet: $1 - P (168 \leq X \leq 182) = 1 - binomPdf (250,0.7,168,182) \approx 1 - 0,6995 = 0,3005$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, beträgt rund $0,3005$ .
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Bekannt ist: $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ und $n = 250$ .
E1: Berechne $P (X \leq 160)$ .
E2: Berechne $80 %$ von $250 \Rightarrow x_{1}$ . Berechne $P (X \geq x_{1})$ .
E3: Berechne den Erwartungswert $μ = n \cdot p = μ_{1}$ und die Standardabweichung $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = σ_{1}$ .
Berechne $1 - P (μ_{1} - σ_{1} \leq X \leq μ_{1} + σ_{1})$ . Achte auf die richtige Rundung der Werte.
Im Folgenden ist $k$ eine ganze Zahl mit $0 \leq k \leq 250$ .
(i) Bestimmen Sie für $k = 165$ die Wahrscheinlichkeit $P (X \geq k)$ , dass mindestens $k$ praktische Prüfungen bestanden werden.
(ii) Beschreiben Sie, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von $k$ verändert wird.
(iii) Die Wahrscheinlichkeit, für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen soll kleiner oder gleich $60 %$ sein.
Ermitteln Sie, wie groß $k$ in diesem Fall mindestens gewählt werden muss.
(6 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden
Berechne $P (X \geq 165) = binomCdf (250,0.7,165,250) \approx 0,9251$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $0,9251$ .
(ii) Beschreibe, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von $k$ verändert wird
Wird $k$ größer als $165$ gewählt, dann verringert sich das Intervall $(X \geq k)$ und die Wahrscheinlichkeit wird kleiner.
Z.B. $P (X \geq 170) = binomCdf (250,0.7,170,250) \approx 0,7772$
oder $P (X \geq 175) = binomCdf (250,0.7,175,250) \approx 0,5311$ .
Wird dagegen $k$ kleiner als $165$ gewählt, dann vergrößert sich das Intervall $(X \geq k)$ und die Wahrscheinlichkeit wird größer.
Z.B. $P (X \geq 160) = binomCdf (250,0.7,160,250) \approx 0,9826$
oder $P (X \geq 155) = binomCdf (250,0.7,155,250) \approx 0,9972$ .
(iii) Ermittle, wie groß $k$ in diesem Fall mindestens gewählt werden muss
Berechne $P (X \geq k) = binomCdf (250,0.7, k, 250) \leq 0,6$ .
Setze für $k$ Werte ein.
Für $k = 173$ erhält man: $P (X \geq 173) = binomCdf (250,0.7,173,250) \approx 0,6380 > 0,6$
Für $k = 174$ erhält man:
$P (X \geq 174) = binomCdf (250,0.7,174,250) \approx 0,5854 < 0,6$
Der Wert von $k$ muss mindestens $174$ sein.
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(i)
Berechne $P (X \geq 165)$ .
(ii)
Wird $k$ größer als $165$ gewählt, dann verringert sich das Intervall $(X \geq k)$ . Was bedeutet das für die Wahrscheinlichkeit?
Wird dagegen $k$ kleiner als $165$ gewählt, dann vergrößert sich das Intervall $(X \geq k)$ . Was bedeutet das für die Wahrscheinlichkeit?
(iii)
Berechne $P (X \geq k) \leq 0,6$ . Setze für $k$ Werte ein, bis die berechnete Wahrscheinlichkeit kleiner oder gleich $0,6$ ist.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit

E1: „Es werden höchstens 160 praktische Prüfungen bestanden.“

E2: „Es werden mindestens 80% der praktischen Prüfungen bestanden.“

E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“

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(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 165 praktische Prüfungen bestanden werden

(ii) Beschreibe, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von k verändert wird

(iii) Ermittle, wie groß k in diesem Fall mindestens gewählt werden muss

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E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“

E2: „Es werden mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“

(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden

(ii) Beschreibe, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von $k$ verändert wird

(iii) Ermittle, wie groß $k$ in diesem Fall mindestens gewählt werden muss