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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Im Jahr 2018 wurden in Nordrhein-Westfalen etwa $390000$ praktische Führerscheinprüfungen abgelegt. Der relative Anteil von bestandenen Prüfungen lag in dem Jahr bei etwa $70 %$ . Für eine Fahrschule, in der n praktische Prüfungen durchgeführt werden, beschreibt im Folgenden die Zufallsgröße $X$ jeweils die Anzahl an bestandenen Prüfungen. Es wird vereinfachend angenommen, dass X stets binomialverteilt ist.
Bei einer Fahrschulkette geht man am Standort Düsseldorf für das Jahr 2021 von insgesamt $250$ praktischen Führerscheinprüfungen aus. Im Modell wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ ist.
1. Ermitteln Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
  E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“
  E2: „Es werden mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“
  E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“
  (8 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit
  E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“
  $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ und $n = 250$ .
  Berechne $P(X\leq 160)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}0{,}160)\approx0{,}0240$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $0,024$ .
  E2: „Es werden mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“
  Berechne $80 %$ von $250 \;\Rightarrow\;0{,}8\cdot 250=200$ .
  Dann ist $P(X\geq 200)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}200{,}250)\approx0{,}00023$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden werde, beträgt etwa $0,00023$ .
  E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“
  Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung:
  $\mu=n\cdot p=250\cdot 0{,}7=175$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{250\cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3}\approx7{,}25$
  Dann wird gesucht:
  $P= 1-P(175-7{,}25\leq X\leq 175+7{,}25)$ .
  Das ergibt gerundet: $1-P(168\leq X\leq 182)=1-\text{binomPdf}(250{,}0.7{,}168{,}182)\approx1-0{,}6995=0{,}3005$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, beträgt rund $0,3005$ .
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  Bekannt ist: $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ und $n = 250$ .
  E1: Berechne $P(X\leq 160)$ .
  E2: Berechne $80 %$ von $250 \;\Rightarrow\;x_1$ . Berechne $P(X\geq x_1)$ .
  E3: Berechne den Erwartungswert $\mu=n\cdot p=\mu_1$ und die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sigma_1$ .
  Berechne $1-P(\mu_1-\sigma_1\leq X\leq \mu_1+\sigma_1)$ . Achte auf die richtige Rundung der Werte.
2. Im Folgenden ist $k$ eine ganze Zahl mit $0 \leq k \leq 250$ .
  (i) Bestimmen Sie für $k = 165$ die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq k)$ , dass mindestens $k$ praktische Prüfungen bestanden werden.
  (ii) Beschreiben Sie, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von $k$ verändert wird.
  (iii) Die Wahrscheinlichkeit, für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen soll kleiner oder gleich $60 %$ sein.
  Ermitteln Sie, wie groß $k$ in diesem Fall mindestens gewählt werden muss.
  (6 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  (i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden
  Berechne $P(X\geq 165)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}165{,}250)\approx0{,}9251$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $0,9251$ .
  (ii) Beschreibe, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von $k$ verändert wird
  Wird $k$ größer als $165$ gewählt, dann verringert sich das Intervall $(X\geq k)$ und die Wahrscheinlichkeit wird kleiner.
  Z.B. $P(X\geq 170)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}170{,}250)\approx0{,}7772$
  oder $P(X\geq 175)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}175{,}250)\approx0{,}5311$ .
  Wird dagegen $k$ kleiner als $165$ gewählt, dann vergrößert sich das Intervall $(X\geq k)$ und die Wahrscheinlichkeit wird größer.
  Z.B. $P(X\geq 160)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}160{,}250)\approx0{,}9826$
  oder $P(X\geq 155)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}155{,}250)\approx0{,}9972$ .
  (iii) Ermittle, wie groß $k$ in diesem Fall mindestens gewählt werden muss
  Berechne $P(X\geq k)=\text{binomCdf}(250{,}0.7,k,250)\leq 0{,}6$ .
  Setze für $k$ Werte ein.
  Für $k = 173$ erhält man: $P(X\geq 173)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}173{,}250)\approx0{,}6380>0{,}6$
  Für $k = 174$ erhält man:
  $P(X\geq 174)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}174{,}250)\approx0{,}5854<0{,}6$
  Der Wert von $k$ muss mindestens $174$ sein.
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  (i)
  Berechne $P(X\geq 165)$ .
  (ii)
  Wird $k$ größer als $165$ gewählt, dann verringert sich das Intervall $(X\geq k)$ . Was bedeutet das für die Wahrscheinlichkeit?
  Wird dagegen $k$ kleiner als $165$ gewählt, dann vergrößert sich das Intervall $(X\geq k)$ . Was bedeutet das für die Wahrscheinlichkeit?
  (iii)
  Berechne $P(X\geq k)\leq 0{,}6$ . Setze für $k$ Werte ein, bis die berechnete Wahrscheinlichkeit kleiner oder gleich $0,6$ ist.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Fahrschulkette plant für das Jahr 2022 die Eröffnung einer Filiale in Soest. Die Zentrale stellt als Anspruch an die Ausbildungsqualität, dass von den praktischen Prüfungen im Schnitt mindestens $70 %$ bestanden werden. Man prognostiziert für Soest, dass $200$ praktische Prüfungen im Jahr 2022 $70 %$ bestanden werden. Wenn davon mindestens $140$ Prüfungen bestanden werden, will die Zentrale davon ausgehen, dass auch in Soest aufgrund der Ausbildungsqualität jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70 %$ bestanden wird. Es wird modellhaft angenommen, dass die Anzahl $Y$ der bestandenen Prüfungen unter den $200$ prognostizierten Prüfungen binomialverteilt ist.
1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass in Soest jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70 %$ bestanden wird, obwohl die Prüfungen tatsächlich nur mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils $65 %$ bestanden werden. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass in Soest jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70 %$ bestanden wird, obwohl die Prüfungen tatsächlich nur mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils $65 %$ bestanden werden
  Berechne $P_{200;\; 0{,}65}(Y\geq 140)=\text{binomCdf(200{,}0.65{,}140{,}200}\approx0{,}0783$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass in Soest jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70 %$ bestanden wird, obwohl die Prüfungen tatsächlich nur mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils $65 %$ bestanden werden, beträgt rund $0,0783$ .
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  Berechne $P_{200;\; 0{,}65}(Y\geq 140)$ .
2. Die Abbildung zeigt das Histogramm zu $P_{200 ; 0{,}7}(Y=k)$ , also für den Fall, dass $p = 0,7$ gilt.
  Abbildung
  Falls von den $200$ prognostizierten praktischen Prüfungen in Soest z.B. nur $130$ bestanden werden, kommt die Zentrale zu der Einschätzung, dass in Soest jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als $70 %$ bestanden wird.
  Erklären Sie mithilfe des Histogramms, warum die Zentrale bei dieser Einschätzung einen Irrtum begangen haben könnte.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Erkläre mithilfe des Histogramms, warum die Zentrale bei dieser Einschätzung einen Irrtum begangen haben könnte
  In der Abbildung liegt der Erwartungswert bei $\mu=200\cdot 0{,}7=140$ .
  Für $k = 130$ ist die Wahrscheinlichkeit deutlich größer als null.
  Beträgt die Bestehungswahrscheinlichkeit $70 %$ , dann sind also auch geringere Erfolgsquoten möglich, ohne dass $p=70\;\%$ als falsch angesehen wird.
  Die Zentrale begeht also einen Irrtum, wenn sie von einer geringeren Bestehungswahrscheinlichkeit für eine Prüfung ausgehen würde.
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  In der Abbildung liegt der Erwartungswert bei $\mu=200\cdot 0{,}7=140$ .
  Für $k = 130$ ist die Wahrscheinlichkeit deutlich größer als null. Was bedeutet das?

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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Aufgabe 1

Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit

E1: „Es werden höchstens 160160160 praktische Prüfungen bestanden.“

E2: „Es werden mindestens 80 %80\;\%80% der praktischen Prüfungen bestanden.“

E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“

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(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 165165165 praktische Prüfungen bestanden werden

(ii) Beschreibe, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von kkk verändert wird

(iii) Ermittle, wie groß kkk in diesem Fall mindestens gewählt werden muss

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Aufgabe 2

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass in Soest jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70 %70\;\%70% bestanden wird, obwohl die Prüfungen tatsächlich nur mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 65 %65\;\%65% bestanden werden

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Erkläre mithilfe des Histogramms, warum die Zentrale bei dieser Einschätzung einen Irrtum begangen haben könnte

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E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“

E2: „Es werden mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“

(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden

(ii) Beschreibe, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von $k$ verändert wird

(iii) Ermittle, wie groß $k$ in diesem Fall mindestens gewählt werden muss

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass in Soest jede Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $70 %$ bestanden wird, obwohl die Prüfungen tatsächlich nur mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils $65 %$ bestanden werden