Berechnen von x.

$\mathrm{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}-\mathrm{d}}{2}}\backslash mathrm\{x=\backslash dfrac\{a-d\}\{2\}\}$

Einsetzen der Werte aus der Skizze.

$\mathrm{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,80}-\mathrm{1,60}}{2}}\backslash mathrm\{x=\backslash dfrac\{3\{,\}80-1\{,\}60\}\{2\}\}$

$\mathrm{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,20}}{2}}\backslash mathrm\{x=\backslash dfrac\{2\{,\}20\}\{2\}\}$

$\mathrm{x}=\mathrm{1,10}\backslash mathrm\{x=1\{,\}10\}$

Das Maß $\mathbf{\text{x}}\backslash textbf\{x\}$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{1,10}\text{ cm}}}\backslash boxed\{1\{,\}10\backslash cm\}$.

Berechnen der Grundfläche $\text{G}\backslash text\{G\}$ des Tabs.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{L}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\cdot \mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\backslash mathrm\{A\_\{Rechteck\}=Länge\; \backslash cdot\; Breite\}$

Bekannte Größen:

(siehe Skizze in der Aufgabenstellung)

Länge $\mathrm{a}=\mathrm{3,80}\text{ cm}\backslash mathrm\{a=3\{,\}80\backslash cm\}\backslash qquad$Breite $\mathrm{b}=\mathrm{2,70}\text{ cm}\backslash mathrm\{b=2\{,\}70\backslash cm\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{3,80}\cdot \mathrm{2,70}\backslash mathrm\{A\_\{Rechteck\}=3\{,\}80\backslash cdot2\{,\}70\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{10,26}{\text{ cm}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Rechteck\}=10\{,\}26\backslash cm^2\}$

Die Dreiecke 1-4 sind kongruent, sie haben den gleichen Flächeninhalt.

Berechnen des Flächeninhalts der 4 Dreiecke:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,10}\cdot \mathrm{0,55}}{2}}\cdot 4\backslash mathrm\{A\_\{Dreiecke\}=\backslash dfrac\{1\{,\}10\backslash cdot0\{,\}55\}\{2\}\backslash cdot4\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,10}\cdot \mathrm{0,55}}{2}}\cdot 4\backslash mathrm\{A\_\{Dreiecke\}=\backslash dfrac\{1\{,\}10\backslash cdot0\{,\}55\}\{2\}\backslash cdot4\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}}=\mathrm{1,10}\cdot \mathrm{1,10}\backslash mathrm\{A\_\{Dreiecke\}=1\{,\}10\backslash cdot1\{,\}10\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}}=\mathrm{1,21}{\text{ cm}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Dreiecke\}=1\{,\}21\backslash cm^2\}$

Der Flächeninhalt der Grundfläche $\text{G}\backslash text\{G\}$ des Tabs beträgt dann:

$\mathrm{G}=\mathrm{10,26}-\mathrm{1,21}\backslash mathrm\{G=10\{,\}26-1\{,\}21\}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{G}=\mathrm{9,05}{\text{ cm}}^2}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{G=9\{,\}05\backslash cm^2\}\}$

Hinweis:

Es sind auch andere Zerlegungen möglich. Man kann z. B. die Grundfläche des Tabs in 2 Trapeze und 1 Rechteck zerlegen.

Berechnen des Volumens der Kugel.

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\mathrm{r}}^3\cdot \pi \backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; r^3\backslash cdot\backslash pi\}$

Einsetzen der bekannten Größen:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\mathrm{0,80}}^3\cdot \pi \backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; 0\{,\}80^3\backslash cdot\backslash pi\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \mathrm{0,512}\cdot \pi \backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; 0\{,\}512\backslash cdot\backslash pi\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\mathrm{2,14}{\text{ cm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=2\{,\}14\backslash cm^3\}$

Das Volumen der Kugel beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{2,14}{\text{ cm}}^3}}\backslash boxed\{2\{,\}14\backslash cm^3\}$.

Berechnen des Volumens des gesamten Tabs.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}\backslash mathrm\{V\_\{Tab\_\{gesamt\}\}=V\_\{Tab\}+\backslash dfrac\{V\_\{Kugel\}\}\{2\}\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{G}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{k}}\backslash mathrm\{V\_\{Tab\}=G\backslash cdot\; h\_k\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{9,05}\cdot \mathrm{1,70}\backslash mathrm\{V\_\{Tab\}=9\{,\}05\backslash cdot\; 1\{,\}70\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{15,39}{\text{ cm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Tab\}=15\{,\}39\backslash cm^3\}$

$\backslash rule\{85mm\}\{0.5mm\}$

${\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,14}}{2}}\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{V\_\{Kugel\}\}\{2\}=\backslash dfrac\{2\{,\}14\}\{2\}\}$

${\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}=\mathrm{1,07}{\text{ cm}}^3\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{V\_\{Kugel\}\}\{2\}=1\{,\}07\backslash cm^3\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}=\mathrm{15,39}+\mathrm{1,07}\backslash mathrm\{V\_\{Tab\_\{gesamt\}\}=15\{,\}39+1\{,\}07\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}=\mathrm{16,46}{\text{ cm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Tab\_\{gesamt\}\}=16\{,\}46\backslash cm^3\}$

Das Volumen des gesamten Tabs beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{16,46}{\text{ cm}}^3}}\backslash \; \backslash boxed\{16\{,\}46\backslash cm^3\}$.

Berechnen der Körperhöhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}\backslash mathrm\{h\_K\}$ des Zylinders.

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \cdot \mathrm{h}\backslash mathrm\{V\_\{Zylinder\}=r^2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; h\}$

Auflösen der Formel nach $\mathbf{\text{h}}\backslash textbf\{h\}$:

$\mathrm{h}={\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}}{{\mathrm{r}}^2\cdot \pi }}\backslash mathrm\{h=\backslash dfrac\{V\_\{Zylinder\}\}\{r^2\backslash cdot\backslash pi\}\}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,14}}{{\mathrm{0,8}}^2\cdot \pi }}\backslash mathrm\{h\_K=\backslash dfrac\{2\{,\}14\}\{0\{,\}8^2\backslash cdot\backslash pi\}\}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=\mathrm{1,06}\text{ cm}\backslash mathrm\{h\_K=1\{,\}06\backslash cm\}$

Die Höhe des Zylinders beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{1,06}\text{ cm}}}\backslash \; \backslash boxed\{1\{,\}06\backslash cm\}$.

Hinweis:

Wir haben hier für das Volumen der Kugel mit dem gerundeten Wert $\mathrm{2,14}2\{,\}14$ gerechnet, wenn du mit dem Wert rechnest, den der Rechner liefert, erhältst du als Ergebnis für die Höhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}\backslash mathrm\{h\_K\}$ des Zylinders, $\mathrm{1,07}\text{ cm}1\{,\}07\backslash cm$.

Ergänzen des Satzes aus der Aufgabenstellung.

Bei Verdoppelung des Durchmessers verdoppelt sich auch der Radius.

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\frac{4}{3}\cdot {\mathrm{r}}^3\cdot \pi }}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; r^3\backslash cdot\backslash pi\}\}$

Multipliziert man den Radius $\mathbf{\text{r}}\backslash textbf\{r\}$ mit $22$, so wird das Volumen der Kugel immer mit $2^{3}2^3$, also $\mathbf{\text{8}}\backslash textbf\{8\}$, vervielfacht. Das Volumen der Kugel verachtfacht sich bei Verdoppelung des Radius .

Ergänze den Satz entsprechend.