Berechnen von x.

$\mathrm{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}-\mathrm{d}}{2}}$

Einsetzen der Werte aus der Skizze.

$\mathrm{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,80}-\mathrm{1,60}}{2}}$

$\mathrm{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,20}}{2}}$

$\mathrm{x}=\mathrm{1,10}$

Das Maß $\text{𝐱}$ beträgt: $\mathrm{1,10}\text{ cm}$.

Berechnen der Grundfläche $\text{G}$ des Tabs.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{L}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\cdot \mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}$

Bekannte Größen:

(siehe Skizze in der Aufgabenstellung)

Länge $\mathrm{a}=\mathrm{3,80}\text{ cm}$Breite $\mathrm{b}=\mathrm{2,70}\text{ cm}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{3,80}\cdot \mathrm{2,70}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{10,26}{\text{ cm}}^2$

Die Dreiecke 1-4 sind kongruent, sie haben den gleichen Flächeninhalt.

Berechnen des Flächeninhalts der 4 Dreiecke:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,10}\cdot \mathrm{0,55}}{2}}\cdot 4$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,10}\cdot \mathrm{0,55}}{2}}\cdot 4$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}}=\mathrm{1,10}\cdot \mathrm{1,10}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}}=\mathrm{1,21}{\text{ cm}}^2$

Der Flächeninhalt der Grundfläche $\text{G}$ des Tabs beträgt dann:

$\mathrm{G}=\mathrm{10,26}-\mathrm{1,21}$

$\mathrm{G}=\mathrm{9,05}{\text{ cm}}^2$

Hinweis:

Es sind auch andere Zerlegungen möglich. Man kann z. B. die Grundfläche des Tabs in 2 Trapeze und 1 Rechteck zerlegen.

Berechnen des Volumens der Kugel.

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\mathrm{r}}^3\cdot \mathrm{\pi }$

Einsetzen der bekannten Größen:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\mathrm{0,80}}^3\cdot \mathrm{\pi }$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \mathrm{0,512}\cdot \mathrm{\pi }$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\mathrm{2,14}{\text{ cm}}^3$

Das Volumen der Kugel beträgt: $\mathrm{2,14}{\text{ cm}}^3$.

Berechnen des Volumens des gesamten Tabs.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{G}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{k}}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{9,05}\cdot \mathrm{1,70}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{15,39}{\text{ cm}}^3$

${\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,14}}{2}}$

${\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}=\mathrm{1,07}{\text{ cm}}^3$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}=\mathrm{15,39}+\mathrm{1,07}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}=\mathrm{16,46}{\text{ cm}}^3$

Das Volumen des gesamten Tabs beträgt: $\mathrm{16,46}{\text{ cm}}^3$.

Berechnen der Körperhöhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}$ des Zylinders.

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}={\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{h}$

Auflösen der Formel nach $\text{𝐡}$:

$\mathrm{h}={\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}}{{\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }}}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,14}}{{\mathrm{0,8}}^2\cdot \mathrm{\pi }}}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=\mathrm{1,06}\text{ cm}$

Die Höhe des Zylinders beträgt: $\mathrm{1,06}\text{ cm}$.

Hinweis:

Wir haben hier für das Volumen der Kugel mit dem gerundeten Wert $\mathrm{2,14}$ gerechnet, wenn du mit dem Wert rechnest, den der Rechner liefert, erhältst du als Ergebnis für die Höhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}$ des Zylinders, $\mathrm{1,07}\text{ cm}$.

Ergänzen des Satzes aus der Aufgabenstellung.

Bei Verdoppelung des Durchmessers verdoppelt sich auch der Radius.

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\mathrm{r}}^3\cdot \mathrm{\pi }$

Multipliziert man den Radius $\text{𝐫}$ mit $2$, so wird das Volumen der Kugel immer mit $2^3$, also $\text{𝟖}$, vervielfacht. Das Volumen der Kugel verachtfacht sich bei Verdoppelung des Radius .

Ergänze den Satz entsprechend.