A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Gegeben sind die Punkte $A (5 | 0 | z)$ und $B (2 | 4 | 5)$ .

Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $z$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Bestimme denjenigen Wert von $z$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben
Gegeben sind die Punkte $A (5 | 0 | z)$ und $B (2 | 4 | 5)$ .
Dann gilt für ihren Abstand:
$d_{A B} = | \vec{A B} |$
Dieser Abstand soll $5$ betragen $\Rightarrow d_{A B} = \sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - z)^{2}} = 5$ .
$\sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - z)^{2}}$ $=$ $5$ $()^{2}$
↓
Beseitige die Wurzel.
$(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - z)^{2}$ $=$ $25$
↓
Vereinfache.
$9 + 16 + 25 - 10 z + z^{2}$ $=$ $25$ $- 25$
$z^{2} - 10 z + 25$ $=$ $0$
↓
Wende eine binomische Formel an.
$(z - 5)^{2}$ $=$ $0$
Die quadratische Gleichung hat die Lösung $z = 5$ .
Für $z = 5$ haben $A$ und $B$ den Abstand $5$ .
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Gegeben sind die Punkte $A (5 | 0 | z)$ und $B (2 | 4 | 5)$ .
Dann gilt für ihren Abstand: $d_{A B} = | \vec{A B} |$
Dieser Abstand soll $5$ betragen.
Löse die entsprechende Gleichung nach $z$ auf.
Ermitteln Sie denjenigen Wert von $z$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Ermittle denjenigen Wert von $z$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist
Man erhält im Punkt $B$ einen rechten Winkel, wenn $\vec{A B} \circ \vec{O B} = 0$ ist.
Es sind $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 2 - 5 \\ 4 - 0 \\ 5 - z \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 5 - z \end{array})$ und $\vec{O B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array})$ .
$\Rightarrow \vec{A B} \circ \vec{O B} = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 5 - z \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}) = - 6 + 16 + (5 - z) \cdot 5 = 0$
$\Rightarrow 10 + 25 - 5 z = 0 \Rightarrow 35 = 5 z \Rightarrow z = 7$
Für $z = 7$ ist das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig.
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Man erhält im Punkt $B$ einen rechten Winkel, wenn $\vec{A B} \circ \vec{O B} = 0$ ist.
Berechne das Skalarprodukt und löse nach $z$ auf.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$\sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - z)^{2}}$	$=$	$5$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel.
$(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - z)^{2}$	$=$	$25$
	↓	Vereinfache.
$9 + 16 + 25 - 10 z + z^{2}$	$=$	$25$	$- 25$
$z^{2} - 10 z + 25$	$=$	$0$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$(z - 5)^{2}$	$=$	$0$

Aufgabe 5

Bestimme denjenigen Wert von z, für den A und B den Abstand 5 haben

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Ermittle denjenigen Wert von z, für den das Dreieck OAB im Punkt B rechtwinklig ist

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Bestimme denjenigen Wert von $z$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben

Ermittle denjenigen Wert von $z$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist