B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Gegeben ist $f(x)=-\dfrac{5}{16}\cdot x^4+5\cdot x^3$ .

Für jede reelle Zahl $a$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_{a}$ mit $h_{a}(x)=5 a x^{2}$ gegeben.

Beschreiben Sie, wie der Graph von $h_{4}$ aus dem Graphen von $h_{3}$ erzeugt werden kann.
(2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen
Beschreibe, wie der Graph von $h_{4}$ aus dem Graphen von $h_{3}$ erzeugt werden kann
Gegeben ist $h_{a}(x)=5 a x^{2}$ .
$\Rightarrow\; h_4(x)=5 \cdot 4\cdot x^{2}=20x^2$ und $h_3(x)=5 \cdot 3\cdot x^{2}=15x^2$
Es gilt: $15x^2\xrightarrow{\cdot \frac{4}{3}}\;20x^2$
Der Graph von $h_{4}$ entsteht durch Streckung in y-Richtung des Graphen von $h_{3}$ mit dem Faktor $\frac{4}{3 }$ .
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Gib die Funktionsgleichung von $h_{4}$ und $h_{3}$ an.
Mit welcher Transformation kommt man vom Funktionsterm von $h_{3}$ zum Funktionsterm von $h_{4}$ ?
Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$ , für den der Punkt $(4 \mid f(4))$ auf dem Graphen von $h_{a}$ liegt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Bestimme denjenigen Wert von $a$ , für den der Punkt $(4 \mid f(4))$ auf dem Graphen von $h_{a}$ liegt
Gegeben sind $f(x)=-\dfrac{5}{16}\cdot x^4+5\cdot x^3$ und $(4\mid f(4))$ .
$\Rightarrow\; f(4)=-\dfrac{5}{16}\cdot 4^4+5\cdot 4^3=240\;\Rightarrow\; (4\mid 240)$
$h_{a}(x)=5 a x^{2}$
Setze die Koordinaten des Punktes $(4\mid 240)$ in $h_{a}(x)$ ein:
$240 =5\cdot a\cdot 4^{2}=80 a\;\Rightarrow\;a=\dfrac{240}{80}=3$
Der Wert von $a$ , für den der Punkt $(4 \mid f(4))$ auf dem Graphen von $h_{a}$ liegt, ist $a = 3$ .
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Berechne $f (4)$ und setze die Koordinaten des Punktes $(4 \mid f(4))$ in $h_{a}(x)$ ein.
Löse nach $a$ auf.
Die Gleichung $f(x)=h_{3{,}75}(x)$ hat genau die drei Lösungen $x_{1}=0, x_{2}=6$ und $x_{3}=10$ und es gilt $\displaystyle\int_{0}^{10}\left(f(x)-h_{3{,}75}(x)\right)\;\mathrm{d} x=0$ .
Erläutern Sie die geometrische Bedeutung dieser Aussage in Bezug auf die Graphen von $f$ und $h_{3{,}75}$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Erläutere die geometrische Bedeutung dieser Aussage in Bezug auf die Graphen von $f$ und $h_{3{,}75}$
Die drei Schnittstellen der beiden Funktionen $f$ und $h_{3{,}75}$ sind gegeben.
Die beiden Graphen schließen zwei Flächenstücke ein.
Es wird von $x_{1}$ bis $x_{3}$ integriert, also über $x_{2}$ hinweg.
Wenn das Integral den Wert null hat, bedeutet das, dass ein Flächenstück unterhalb und ein Flächenstück oberhalb der x-Achse liegen und die Flächeninhalte gleich groß sind.
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Wenn das Integral den Wert null hat, bedeutet das, dass ein Flächenstück unterhalb und ein Flächenstück oberhalb der x-Achse liegen und die Flächeninhalte gleich groß sind.
Ermitteln Sie, an welchen Stellen im Intervall $[0; 16]$ die Graphen der Funktionen $f$ und $h_{3}$ einen vertikalen Abstand von $250$ Längeneinheiten haben. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Ermittle, an welchen Stellen im Intervall $[0; 16]$ die Graphen der Funktionen $f$ und $h_{3}$ einen vertikalen Abstand von $250$ Längeneinheiten haben
Gegeben sind $f(x)=-\dfrac{5}{16}\cdot x^4+5\cdot x^3$ und $h_{3} (x) = 15 x^{2}$ .
Der Abstand ist $d(x)=f(x)-h_3(x)=-\dfrac{5}{16}\cdot x^4+5\cdot x^3-15x^2$ .
Es soll im Intervall $[0; 16]$ gelten $∣ d (x) ∣ = 250$ $\Rightarrow\; \left|-\dfrac{5}{16}\cdot x^4+5\cdot x^3-15x^2\right|=250$ ,
Löse die Gleichung mit dem GTR-Rechner:
Für $-\dfrac{5}{16}\cdot x^4+5\cdot x^3-15x^2=250$ erhält man die Lösungen $x_1\approx7{,}21$ und $x_2\approx11{,}08$ .
Für $-\dfrac{5}{16}\cdot x^4+5\cdot x^3-15x^2=-250$ erhält man die Lösungen $x_3\approx-2{,}81$ und $x_4\approx12{,}59$ .
Die Lösung $x_3\approx-2{,}81$ liegt nicht im Intervall $[0; 16]$ .
Man erhält als Lösung die Stellen $x\approx7{,}21, x\approx11{,}08$ und $x\approx12{,}59$ an denen die Graphen der Funktionen $f$ und $h_{3}$ einen vertikalen Abstand von $250$ Längeneinheiten haben.
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Der Abstand ist $d (x) = f (x) - h_{3} (x)$ .
Im Intervall $[0; 16]$ gelten $∣ d (x) ∣ = 250$ .
Löse die Gleichung mit GTR. Beachte dabei, dass die Lösungen im Intervall $[0; 16]$ liegen müssen.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Beschreibe, wie der Graph von h4h_{4}h4​ aus dem Graphen von h3h_{3}h3​ erzeugt werden kann

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Bestimme denjenigen Wert von aaa, für den der Punkt (4∣f(4))(4 \mid f(4))(4∣f(4)) auf dem Graphen von hah_{a}ha​ liegt

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Erläutere die geometrische Bedeutung dieser Aussage in Bezug auf die Graphen von fff und h3,75h_{3{,}75}h3,75​

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Ermittle, an welchen Stellen im Intervall [0;16][0 ; 16][0;16] die Graphen der Funktionen fff und h3h_{3}h3​ einen vertikalen Abstand von 250250250 Längeneinheiten haben

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Beschreibe, wie der Graph von $h_{4}$ aus dem Graphen von $h_{3}$ erzeugt werden kann

Bestimme denjenigen Wert von $a$ , für den der Punkt $(4 \mid f(4))$ auf dem Graphen von $h_{a}$ liegt

Erläutere die geometrische Bedeutung dieser Aussage in Bezug auf die Graphen von $f$ und $h_{3{,}75}$

Ermittle, an welchen Stellen im Intervall $[0; 16]$ die Graphen der Funktionen $f$ und $h_{3}$ einen vertikalen Abstand von $250$ Längeneinheiten haben