Beschreibe, wie der Graph von $h_4$ aus dem Graphen von $h_3$ erzeugt werden kann

Gegeben ist $h_a(x)=5a{x}^2$.

$\Rightarrow h_4(x)=5\cdot 4\cdot x^2=20x^2$ und $h_3(x)=5\cdot 3\cdot x^2=15x^2$

Es gilt: $15x^2\stackrel{\stackrel{}{\cdot \frac{4}{3}}}{\to }20x^2$

Der Graph von $h_4$ entsteht durch Streckung in y-Richtung des Graphen von $h_3$ mit dem Faktor $\frac{4}{3}$.

Bestimme denjenigen Wert von $a$, für den der Punkt $(4|f(4))$ auf dem Graphen von $h_a$ liegt

Gegeben sind $f(x)=-{\displaystyle \frac{5}{16}}\cdot x^4+5\cdot x^3$ und $(4|f(4))$.

$\Rightarrow f(4)=-{\displaystyle \frac{5}{16}}\cdot 4^4+5\cdot 4^3=240\Rightarrow (4|240)$

$h_a(x)=5a{x}^2$

Setze die Koordinaten des Punktes $(4|240)$ in $h_a(x)$ ein:

$240=5\cdot a\cdot 4^2=80a\Rightarrow a={\displaystyle \frac{240}{80}}=3$

Der Wert von $a$, für den der Punkt $(4|f(4))$ auf dem Graphen von $h_a$ liegt, ist $a=3$.

Erläutere die geometrische Bedeutung dieser Aussage in Bezug auf die Graphen von $f$ und $h_{\mathrm{3,75}}$

Die drei Schnittstellen der beiden Funktionen $f$ und $h_{\mathrm{3,75}}$ sind gegeben.

Die beiden Graphen schließen zwei Flächenstücke ein.

Es wird von $x_1$ bis $x_3$ integriert, also über $x_2$ hinweg.

Wenn das Integral den Wert null hat, bedeutet das, dass ein Flächenstück unterhalb und ein Flächenstück oberhalb der x-Achse liegen und die Flächeninhalte gleich groß sind.

Ermittle, an welchen Stellen im Intervall $[0;16]$ die Graphen der Funktionen $f$ und $h_3$ einen vertikalen Abstand von $250$ Längeneinheiten haben

Gegeben sind $f(x)=-{\displaystyle \frac{5}{16}}\cdot x^4+5\cdot x^3$ und $h_3(x)=15x^2$.

Der Abstand ist $d(x)=f(x)-h_3(x)=-{\displaystyle \frac{5}{16}}\cdot x^4+5\cdot x^3-15x^2$.

Es soll im Intervall $[0;16]$ gelten $|d(x)|=250$$\Rightarrow |-{\displaystyle \frac{5}{16}}\cdot x^4+5\cdot x^3-15x^2|=250$,

Löse die Gleichung mit dem GTR-Rechner:

Für $-{\displaystyle \frac{5}{16}}\cdot x^4+5\cdot x^3-15x^2=250$ erhält man die Lösungen $x_1\approx \mathrm{7,21}$ und $x_2\approx \mathrm{11,08}$.

Für $-{\displaystyle \frac{5}{16}}\cdot x^4+5\cdot x^3-15x^2=-250$ erhält man die Lösungen $x_3\approx -\mathrm{2,81}$ und $x_4\approx \mathrm{12,59}$.

Die Lösung $x_3\approx -\mathrm{2,81}$ liegt nicht im Intervall $[0;16]$.

Man erhält als Lösung die Stellen $x\approx \mathrm{7,21},x\approx \mathrm{11,08}$ und $x\approx \mathrm{12,59}$ an denen die Graphen der Funktionen $f$ und $h_3$ einen vertikalen Abstand von $250$ Längeneinheiten haben.