Weise nach, dass die Funktion $d$ die Differenzialgleichung $\dot{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-d)\cdot d$ erfüllt

Gegeben ist $d(t)={\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}}=3\cdot {(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t})}^{-1}$.

Ableitung mit Potenz- und Kettenregel.

Dann ist:

$\dot{d}=-3\cdot {(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t})}^{-2}\cdot e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}\cdot (-\mathrm{0,05})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}\cdot e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}{{(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t})}^2}}$

$\dot{d}={\displaystyle \frac{3}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}{(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}{)}^2}}$

Berechne nun die rechte Seite der Differenzialgleichung:

${\displaystyle \frac{1}{60}}(3-d)\cdot d={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-{\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}})\cdot \left({\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}}\right)$

Damit ist gezeigt, dass die rechte Seite der Differenzialgleichung gleich $\dot{d}$ ist.

Ermittle mithilfe der Differenzialgleichung aus a) den maximalen Wert, den $\dot{d}(t)$ annehmen kann, und erläutere dessen Bedeutung im Sachzusammenhang

Gegeben ist $\dot{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-d)\cdot d={\displaystyle \frac{1}{60}}(3d-d^2)$.

Wenn $\dot{d}$ maximal sein soll, muss $\ddot{d}=0$ sein.

Berechne $\ddot{d}:$

$\ddot{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-2d)\Rightarrow \ddot{d}=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{60}}(3-2d)=0\Rightarrow d={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Löse die Gleichung ${\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}}$

Es ist $\stackrel{\dots }{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(-2)<0$$\Rightarrow$Bei $t=90$ liegt ein Maximum vor.

Nach $t=90$ Tagen ist $\dot{d}$ maximal.

$d(t)$ ist der Zuwachs des Durchmessers in $\mathrm{mm}$. Dann ist $\dot{d}(t)$ die Wachstumsrate des Durchmessers. Nach $90$ Tagen ist der Zuwachs des Durchmessers maximal.