Weise nach, dass die Funktion $d$ die Differenzialgleichung $\dot{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-d)\cdot d$ erfüllt

Gegeben ist $d(t)={\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}}=3\cdot {(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t})}^{-1}$.

Ableitung mit Potenz- und Kettenregel.

Dann ist:

$\dot{d}=-3\cdot {(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t})}^{-2}\cdot e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}\cdot (-\mathrm{0,05})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}\cdot e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}{{(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t})}^2}}$

$\dot{d}={\displaystyle \frac{3}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}{(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}{)}^2}}$

Berechne nun die rechte Seite der Differenzialgleichung:

${\displaystyle \frac{1}{60}}(3-d)\cdot d={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-{\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}})\cdot \left({\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}}\right)$

Damit ist gezeigt, dass die rechte Seite der Differenzialgleichung gleich $\dot{d}$ ist, also erfüllt $d$ die gegebene Differenzialgleichung.

Ermittle mithilfe der Differenzialgleichung aus a) den maximalen Wert, den $\dot{d}(t)$ annehmen kann, und erläutere dessen Bedeutung im Sachzusammenhang

Gegeben ist $\dot{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-d)\cdot d={\displaystyle \frac{1}{60}}(3d-d^2)$.

Durch $\dot{d}$ wird eine nach unten geöffnete Parabel der Form $y={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-x)\cdot x$ beschrieben.

Der Hochpunkt ist der Scheitelpunkt der Parabel, der in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen $x=0$ und $x=3$, d.h. bei $x=\mathrm{1,5}$ liegt.

$\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-\mathrm{1,5})\cdot \mathrm{1,5}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,25}}{60}}=\mathrm{0,0375}$

$\Rightarrow \dot{d}(t_{max})=\mathrm{0,0375}$

Der maximale Wert, den $\dot{d}(t)$ annehmen kann, ist $\mathrm{0,0375}{\displaystyle \frac{\mathrm{m}\mathrm{m}}{\mathrm{d}}}$.

($\mathrm{d}$ steht hier für Tag.)

Bedeutung im Sachzusammenhang

$d(t)$ ist der Zuwachs des Durchmessers in $\mathrm{mm}$.

Dann ist $\dot{d}(t)$ die Zuwachsgeschwindigkeit des Durchmessers des Baumes.

Die maximale Zuwachsgeschwindigkeit des Durchmessers ist $\mathrm{0,0375}{\displaystyle \frac{\mathrm{m}\mathrm{m}}{\mathrm{d}}}$.