Teil 2 mit Hilfsmitteln Analysis II

Weise nach, dass die Funktion $q$ umkehrbar ist

Gegeben ist $q(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}={\displaystyle \frac{(x+3{)}^2}{x^2+3}}$ mit der Definitionsmenge $D_q=[-3;1]$.

Berechne $q^{\prime }(x)$ mit der Quotientenregel:

Der Zähler ist also für $-3<x<1$ größer null und der Nenner ist ebenfalls größer null.

Dann gilt:

$q^{\prime }(x)\ge 0$ für $x\in [-3;1]$, dabei ist $q^{\prime }(-3)=0$ und $q^{\prime }(1)=0$.

Für maximale Intervalle müssen die Ränder mit eingeschlossen werden, obwohl hier $q^{\prime }(x)=0$ ist.

$q^{\prime }(x)$ ist in $[-3;1]$ streng monoton steigend, also existiert eine Umkehrfunktion.

Bestimme eine Gleichung der Geraden $t$, die den Graphen der Umkehrfunktion von $q$ in dessen Schnittpunkt mit der x-Achse berührt

Gegeben ist $q(x)={\displaystyle \frac{(x+3{)}^2}{x^2+3}}$.

Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne $q(0)={\displaystyle \frac{(0+3{)}^2}{0^2+3}}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3\Rightarrow S_y(0|3)$.

Dieser Punkt wird an der Winkelhalbierenden gespiegelt und ergibt die Nullstelle von $q^{-1}$$\Rightarrow N_{q^{-1}}(3|0)$.

Gesucht ist also die Gleichung der Tangente an $G_{q^{-1}}$ im Punkt $(3|0)$.

$G_q$ hat im Punkt $S_y$ die Steigung $q^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{-6(0^2+2\cdot 0-3)}{(0^2+3{)}^2}}={\displaystyle \frac{18}{9}}=2$

Die Steigung der Umkehrfunktion am gespiegelten Punkt $(3|0)$ ist der Kehrwert der Steigung der ursprünglichen Funktion im Punkt $(0|3)$.

$G_{q^{-1}}$ hat somit im Punkt $N_{q^{-1}}$ die Steigung $m={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Für die Tangentengleichung gilt:

$t:y=m\cdot x+b\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x+b$

Mit dem Punkt $(3|0)$ folgt dann $0={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3+b\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Die Gleichung der Geraden $t$, die den Graphen der Umkehrfunktion von $q$ in dessen Schnittpunkt mit der x-Achse berührt, lautet $t:y={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Ermittle eine integralfreie Darstellung von $G(x)$

Gegeben ist $g(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}$.

Durch Polynomdivision erhält man: $g(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}=1+{\displaystyle \frac{6x+6}{x^2+3}}$

Dann folgt für das Integral: $${\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x={\displaystyle \int (1+{\displaystyle \frac{6x+6}{x^2+3}})\mathrm{d}x=x+C_1+{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x+6}{x^2+3}}\mathrm{d}x}}}$$

Berechne das Integral:

$$\Rightarrow {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x+6}{x^2+3}}\mathrm{d}x={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x}{x^2+3}}\mathrm{d}x+{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6}{x^2+3}}\mathrm{d}x}}}$$

Für das 1. Integral $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x}{x^2+3}}\mathrm{d}x}$$ folgt:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x}{x^2+3}}\mathrm{d}x=3\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{x^2+3}}\mathrm{d}x=3\cdot \ln (x^2+3)+C_2}}$$

Das 2. Integral gilt dann:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6}{x^2+3}}\mathrm{d}x={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6}{3\cdot ({\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2+1)}}\mathrm{d}x={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2+1}}\mathrm{d}x}}}$$

Setze $z={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\Rightarrow \mathrm{d}x=\sqrt{3}\mathrm{d}z$.

Dann folgt: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2+1}}\mathrm{d}x={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{z^2+1}}\sqrt{3}\mathrm{d}z=2\cdot \sqrt{3}\arctan z}}$$

$2\cdot \sqrt{3}=2\cdot \sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}$ mit Resubstitution erhält man dann:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2+1}}\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}\arctan \left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\right)+C_3}$$

Ergebnis:

$${\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x=x+3\cdot \ln (x^2+3)+{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}\arctan \left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\right)+C✓}$$

Ermittle $D_h$

Es ist $h(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{(x+3{)}^2}{x^2+3}}\right)$.

Für $x=-3\Rightarrow \ln 0$ und der ist nicht definiert$\Rightarrow D_h=ℝ\backslash \{-3\}$

(An der Stelle $x=-3$ hat $h(x)$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.)

Ermittle die Nullstelle von $h$

Es gilt: $\ln 1=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}=1$

Die Nullstelle von $h$ liegt bei $x=-1$.

Verhalten der Funktionswerte von $h$ für $x\to +\infty$

Es ist $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}={\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2(1+{\displaystyle \frac{6}{x}}+{\displaystyle \frac{9}{x^2}})}{x^2(1+{\displaystyle \frac{3}{x^2}})}}={\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1+\stackrel{\to 0}{\overbrace{{\displaystyle \frac{6}{x}}}}+\stackrel{\to 0}{\overbrace{{\displaystyle \frac{9}{x^2}}}}}{1+\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{3}{x^2}}}}}}=1}}}$$

Also ist $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(1\right)=0}$$

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Berechne den Durchmesser $d_0$, den die zylindrische Welle mindestens haben muss

Der Durchmesser $d_0$ ist der doppelte y-Wert des Hochpunktes.

Gegeben ist $f(x)=x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

Berechne $f^{\prime }(x)$, beachte dabei die Kettenregel.

$f^{\prime }(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot 3=1-e^{3\cdot x-10}$

Löse die Gleichung $f^{\prime }(x)=0$:

$G_f$ hat an der Stelle $x={\displaystyle \frac{10}{3}}$ einen Hochpunkt (siehe Abb.).

Berechne $f\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)$:

$f\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)={\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot e^{3\cdot \frac{10}{3}-10}={\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot e^{10-10}={\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot e^0={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$

Der Durchmesser $d_0$ ist der doppelte y-Wert des Hochpunktes$\Rightarrow d_0=2\cdot 3=6$.

Der Durchmesser $d_0$, den die zylindrische Welle mindestens haben muss, beträgt $6\mathrm{cm}$.

Bestimme die Masse $m$ eines Knaufs (auf ganze Gramm gerundet), wenn das verwendete Messing die Dichte $\rho =\mathrm{8,50}{\displaystyle \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}$ besitzt

Es ist $m=\rho \cdot V$.

Berechne das Rotationsvolumen:

$$V=\pi \cdot {\displaystyle {\int }_a^b{\left(f\left(x\right)\right)}^2\mathrm{d}x}$$

Hier gilt:

$$V=\pi \cdot {\displaystyle {\int }_1^4{(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot e^{3\cdot x-10})}^2\mathrm{d}x=\pi \cdot {\displaystyle {\int }_1^4(x^2-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot e^{3\cdot x-10}\cdot x+{\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot e^{6\cdot x-20})\mathrm{d}x}}$$

Berechne die drei Integrale getrennt (zunächst ohne Grenzen):

1. Integral:

$${\displaystyle \int x^2\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3}$$

2. Integral:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot e^{3\cdot x-10}\cdot x\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \int e^{3\cdot x-10}\cdot x\mathrm{d}x}}$$, löse dieses Integral mit partieller Integration.

Es gilt: $${\displaystyle {\int }_{}^{}{u}^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x=u\left(x\right)v\left(x\right)-{\int }_{}^{}u\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

Es ist $u^{\prime }(x)=e^{3\cdot x-10}$ und $v(x)=x$

$\Rightarrow$$${\displaystyle \int e^{3\cdot x-10}\cdot x\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot x-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot 1\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot x-{\displaystyle \frac{1}{9}}{e}^{3\cdot x-10}}}$$

Also folgt:

$${\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \int e^{3\cdot x-10}\cdot x\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot ({\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot x-{\displaystyle \frac{1}{9}}{e}^{3\cdot x-10})={\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot x-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{3\cdot x-10}}$$

3. Integral:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot e^{6\cdot x-20}\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{56}}\cdot e^{6\cdot x-20}}$$

Insgesamt erhält man dann:

$$V=\pi \cdot {\displaystyle {\int }_1^4{(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot e^{3\cdot x-10})}^2\mathrm{d}x=\pi \cdot {[{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-({\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot x-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{3\cdot x-10})+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^{6\cdot x-20}]}_1^4}$$$V=\pi \cdot (({\displaystyle \frac{64}{3}}-({\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{3\cdot 4-10}\cdot 4-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{3\cdot 4-10})+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^{6\cdot 4-20})$

$\phantom{V=\pi \cdot (}-({\displaystyle \frac{1}{3}}-({\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{3\cdot 1-10}\cdot 1-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{3\cdot 1-10})+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^{6\cdot 1-20}))$

$V=\pi \cdot (({\displaystyle \frac{64}{3}}-{\displaystyle \frac{8}{9}}{e}^2+{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^2+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^4)-({\displaystyle \frac{1}{3}}-({\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{-7}-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{-7})+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^{-14}))$

$V=\pi \cdot ({\displaystyle \frac{64}{3}}-{\displaystyle \frac{8}{9}}{e}^2+{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^2+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^4-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{-7}-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{-7}-{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^{-14})\approx \mathrm{50,236}$

$m=\rho \cdot V=\mathrm{8,50}\cdot \mathrm{50,236}\approx 427$

Die Masse $m$ eines Knaufs (auf ganze Gramm gerundet) beträgt $427\mathrm{g}$.

Weise nach, dass die Funktion $d$ die Differenzialgleichung $\dot{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-d)\cdot d$ erfüllt

Gegeben ist $d(t)={\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}}=3\cdot {(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t})}^{-1}$.

Ableitung mit Potenz- und Kettenregel.

Dann ist:

$\dot{d}=-3\cdot {(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t})}^{-2}\cdot e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}\cdot (-\mathrm{0,05})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}\cdot e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}{{(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t})}^2}}$

$\dot{d}={\displaystyle \frac{3}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}{(1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}{)}^2}}$

Berechne nun die rechte Seite der Differenzialgleichung:

${\displaystyle \frac{1}{60}}(3-d)\cdot d={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-{\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}})\cdot \left({\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}}\right)$

Damit ist gezeigt, dass die rechte Seite der Differenzialgleichung gleich $\dot{d}$ ist.

Ermittle mithilfe der Differenzialgleichung aus a) den maximalen Wert, den $\dot{d}(t)$ annehmen kann, und erläutere dessen Bedeutung im Sachzusammenhang

Gegeben ist $\dot{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-d)\cdot d={\displaystyle \frac{1}{60}}(3d-d^2)$.

Wenn $\dot{d}$ maximal sein soll, muss $\ddot{d}=0$ sein.

Berechne $\ddot{d}:$

$\ddot{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-2d)\Rightarrow \ddot{d}=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{60}}(3-2d)=0\Rightarrow d={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Löse die Gleichung ${\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}}$

Es ist $\stackrel{\dots }{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(-2)<0$$\Rightarrow$Bei $t=90$ liegt ein Maximum vor.

Nach $t=90$ Tagen ist $\dot{d}$ maximal.

$d(t)$ ist der Zuwachs des Durchmessers in $\mathrm{mm}$. Dann ist $\dot{d}(t)$ die Wachstumsrate des Durchmessers. Nach $90$ Tagen ist der Zuwachs des Durchmessers maximal.