Weise nach, dass die Funktion $q$ umkehrbar ist

Gegeben ist $q(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}={\displaystyle \frac{(x+3{)}^2}{x^2+3}}$ mit der Definitionsmenge $D_q=[-3;1]$.

Berechne $q^{\prime }(x)$ mit der Quotientenregel:

Untersuche das Verhalten des Zählers $-6\cdot (x+3)\cdot (x-1)$:

Der Zähler ist also für $-3<x<1$ größer null und der Nenner ist ebenfalls größer null.

Dann gilt:

$q^{\prime }(x)\ge 0$ für $x\in [-3;1]$, dabei ist $q^{\prime }(-3)=0$ und $q^{\prime }(1)=0$.

Für maximale Intervalle müssen die Ränder mit eingeschlossen werden, obwohl hier $q^{\prime }(x)=0$ ist.

$q^{\prime }(x)$ ist in $[-3;1]$ streng monoton steigend, also existiert eine Umkehrfunktion.

Bestimme eine Gleichung der Geraden $t$, die den Graphen der Umkehrfunktion von $q$ in dessen Schnittpunkt mit der x-Achse berührt

Gegeben ist $q(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}={\displaystyle \frac{(x+3{)}^2}{x^2+3}}$.

Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne $q(0)={\displaystyle \frac{(0+3{)}^2}{0^2+3}}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3\Rightarrow S_y(0|3)$.

Dieser Punkt wird an der Winkelhalbierenden gespiegelt und ergibt die Nullstelle von $q^{-1}$$\Rightarrow N_{q^{-1}}(3|0)$.

Gesucht ist also die Gleichung der Tangente an $G_{q^{-1}}$ im Punkt $(3|0)$.

$G_q$ hat im Punkt $S_y$ die Steigung $q^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{-6(0^2+2\cdot 0-3)}{(0^2+3{)}^2}}={\displaystyle \frac{18}{9}}=2$

Die Steigung der Umkehrfunktion am gespiegelten Punkt $(3|0)$ ist der Kehrwert der Steigung der ursprünglichen Funktion im Punkt $(0|3)$.

$G_{q^{-1}}$ hat somit im Punkt $N_{q^{-1}}$ die Steigung $m={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Für die Tangentengleichung gilt:

$t:y=m\cdot x+b\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x+b$

Mit dem Punkt $(3|0)$ folgt dann $0={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3+b\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Die Gleichung der Geraden $t$, die den Graphen der Umkehrfunktion von $q$ in dessen Schnittpunkt mit der x-Achse berührt, lautet $t:y={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Ermittle eine integralfreie Darstellung von $G(x)$

Gegeben ist $g(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}$.

Durch Polynomdivision erhält man: $g(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}=1+{\displaystyle \frac{6x+6}{x^2+3}}$

Dann folgt für das Integral (zunächst unbestimmt, ohne Integrationsgrenzen): $${\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x={\displaystyle \int (1+{\displaystyle \frac{6x+6}{x^2+3}})\mathrm{d}x=x+C_1+{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x+6}{x^2+3}}\mathrm{d}x}}}$$

Berechne das Integral:

$$\Rightarrow {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x+6}{x^2+3}}\mathrm{d}x={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x}{x^2+3}}\mathrm{d}x+{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6}{x^2+3}}\mathrm{d}x}}}$$

Für das 1. Integral $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x}{x^2+3}}\mathrm{d}x}$$ folgt:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x}{x^2+3}}\mathrm{d}x=3\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{x^2+3}}\mathrm{d}x=3\cdot \ln (|x^2+3|)+C_2=3\cdot \ln (x^2+3)+C_2}}$$

(Betragsstriche entfallen, da $x^2+3>0$ ist.)

Das 2. Integral:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6}{x^2+3}}\mathrm{d}x={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6}{3\cdot ({\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2+1)}}\mathrm{d}x={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2+1}}\mathrm{d}x}}}$$

Setze $z={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\Rightarrow \mathrm{d}x=\sqrt{3}\mathrm{d}z$.

Dann folgt: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2+1}}\mathrm{d}x={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{z^2+1}}\sqrt{3}\mathrm{d}z=2\cdot \sqrt{3}\arctan z}}$$

$2\cdot \sqrt{3}=2\cdot \sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}$ mit Resubstitution erhält man dann:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2+1}}\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}\arctan \left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\right)+C_3}$$

Ergebnis zusammengefasst:

$${\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x=x+3\cdot \ln (x^2+3)+{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}\arctan \left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\right)+C✓}$$

Dann folgt für $G(x)$:

$$G(x)={\displaystyle {\int }_{-3}^{x}g(t)\mathrm{d}t={[t+3\cdot \ln (t^2+3)+{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}\arctan \left({\displaystyle \frac{t}{\sqrt{3}}}\right)]}_{-3}^x=}$$

$x+3\cdot \ln (x^2+3)+{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}\arctan \left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\right)-(-3+3\cdot \ln ((-3{)}^2+3)+{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}\arctan \left({\displaystyle \frac{-3}{\sqrt{3}}}\right))=$

$x+3\cdot \ln (x^2+3)+{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}\arctan \left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\right)+3-3\cdot \ln (12)-{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=$

$x+3\cdot \ln (x^2+3)+{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}\arctan \left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\right)+3-3\cdot \ln (12)+{\displaystyle \frac{2\pi }{\sqrt{3}}}$

Eine integralfreie Darstellung von $G(x)$ ist:

Ermittle $D_h$

Bekannt: $D_g=[-5;+\infty [$ und $D_h\subset D_g$.

Es ist $h(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{(x+3{)}^2}{x^2+3}}\right)$.

Für $x=-3\Rightarrow \ln 0$ und der ist nicht definiert$\Rightarrow D_h=[-5;+\infty [\backslash \{-3\}$

(An der Stelle $x=-3$ hat $h(x)$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.)

Ermittle die Nullstelle von $h$

Es gilt: $\ln 1=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}=1$

Die Nullstelle von $h$ liegt bei $x=-1$.

Verhalten der Funktionswerte von $h$ für $x\to +\infty$

Es ist $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+6x+9}{x^2+3}}={\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2(1+{\displaystyle \frac{6}{x}}+{\displaystyle \frac{9}{x^2}})}{x^2(1+{\displaystyle \frac{3}{x^2}})}}={\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1+\stackrel{\to 0}{\overbrace{{\displaystyle \frac{6}{x}}}}+\stackrel{\to 0}{\overbrace{{\displaystyle \frac{9}{x^2}}}}}{1+\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{3}{x^2}}}}}}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1}}}$$

Also ist $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\ln (\underset{\to 1}{\underbrace{g(x)}})=0}$$

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.