Aufgaben zu Volumen, Masse und Dichte

a und b in dm umrechnen

$a=500\text{ mm}=5\text{ dm}$

$b=300\text{ mm}=3\text{ dm}$

$\begin{array}{rcl}{m}_{\text{Rohrstück}}& =& \mathrm{117,87}{\text{ cm}}^3\cdot \mathrm{8,6}\frac{\text{ g}}{{\text{ cm}}^3}\\ & \approx & \mathrm{1013,68}\text{g}\\ & \approx & \mathrm{1,014}\text{ k}g\end{array}$

Berechnung des Volumens

Ziehe also das Volumen der halben Kugel von dem Volumen des Kegels ab.

Berechnung der Masse

$m=\rho \cdot V=\mathrm{7,2}\frac{g}{c{m}^3}\cdot 168c{m}^3=\mathrm{1209,6}g\approx \mathrm{1,2}kg$

Das Stahlteil setzt sich aus einem Quader und einem Zylinder zusammen. Berechne so zunächst die Volumina der beiden Einzelelemente. Nach Ermittlung des Gesamtvolumens wird die Masse über die Dichte bestimmt.

Volumenberechnung

Zur Berechnung des Quadervolumens rechne die Längen in Dezimeter um und multipliziere Länge, Breite und Höhe des Quaders.

--$V_Q=\mathrm{1,5}dm\cdot \mathrm{1,2}dm\cdot \mathrm{2,5}dm=\mathrm{4,5}d{m}^3$

Rechne die Längen in Dezimeter um und berechne das Volumen des Zylinders mit der bekannten Formel.

$V_Z=\frac{(\mathrm{0,5}dm{)}^2\cdot \mathrm{\pi }}{4}\cdot \mathrm{3,0}dm=\mathrm{0,589}d{m}^3$

Für das Gesamtvolumen gilt nun:

$V_{Ges}=V_Q+V_Z=\mathrm{4,5}d{m}^3+\mathrm{0,589}d{m}^3=\mathrm{5,089}d{m}^3$

Bestimmung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$.

$\rho =\frac{m}{V}\iff m=\rho \cdot V$

$m={\rho }_{Stahl}\cdot V=\mathrm{7,85}\frac{kg}{d{m}^3}\cdot \mathrm{5,089}d{m}^3=\mathrm{39,949}kg$

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann die Kreis-, Quadrat- und Lochfläche. Ermittle danach die Gesamtfläche, sowie das Volumen.Über das Volumen erhälst du dann mit der Dichte das Volumen.

ext{Berechnung der Kreisfläche. Mit einem Durchmesser $d=3\text{ dm}$ gilt:

$A_{\text{Kreis}}={\displaystyle \frac{(3\text{ dm}{)}^2\cdot \mathrm{\pi }}{4}}=\mathrm{7,069}{\text{ dm}}^2$

Berechnung der Quadratfläche. Mit einer Seitenlänge $a=\mathrm{1,4}\text{ dm}$ gilt:

$A_{\text{Quadrat}}=\mathrm{1,4}\text{ dm}\cdot \mathrm{1,4}\text{ dm}=\mathrm{1,96}{\text{ dm}}^2$

Berechnung der Lochfläche. Die Löcher sind kleiner Kreise mit einem Durchmesser $d=\mathrm{0,4}\text{ dm}$.

$A_{\text{Loch}}={\displaystyle \frac{(\mathrm{0,4}\text{ dm}{)}^2\cdot \mathrm{\pi }}{4}}=\mathrm{0,126}{\text{ dm}}^2$

Berechnung der Gesamtfläche

Aus der Skizze lässt sich entnehmen, dass der Aufriss gerade ein großer Kreis ohne ein mittleres Quadrat und vier kleinere kreisförmige Löcher ist. So gilt für die Fläche des Aufrisses $A_{\text{Ges}}$:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{s}}={\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}-{\mathrm{A}}_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}-4\cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}}=\mathrm{7,069}{\text{ dm}}^2-\mathrm{1,96}{\text{ dm}}^2-4\cdot \mathrm{0,126}{\text{ dm}}^2$

$=\mathrm{4,605}{\text{ dm}}^2$

Berechnung des Volumens

Das Volumen des Kupferstücks bestimmt sich als Produkt der Aufrissfläche und der Dicke. Somit gilt mit Dicke $\mathrm{0,12}\text{ dm}$:

--

$\mathrm{V}={\mathrm{A}}_{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{s}}\cdot \mathrm{0,12}\text{ dm}=\mathrm{4,605}{\text{ dm}}^2\cdot \mathrm{0,12}\text{ dm}=\mathrm{0,553}{\text{ dm}}^3$

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$.

$\mathrm{\rho }={\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{V}}}\iff \mathrm{m}=\mathrm{\rho }\cdot \mathrm{V}$

$\mathrm{m}={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}}\cdot \mathrm{V}=\mathrm{8,96}{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}}\cdot \mathrm{0,553}{\text{ dm}}^3=\mathrm{4,955}\mathrm{k}\mathrm{g}$

Volumenberechnung

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann das Volumen des Stahlrohrs als Produkt vom Aufriss und der Länge. Der Aufriss ist ein Kreisring, dessen Flächeninhalt als Differenz der Flächeninhalte des größeren und des kleineren Kreises ermittelt wird

$V=[{\left({\displaystyle \frac{D}{2}}\right)}^2\cdot \mathrm{\pi }-{\left({\displaystyle \frac{d}{2}}\right)}^2\cdot \mathrm{\pi }]\cdot L={\displaystyle \frac{(D^2-d^2)\cdot \mathrm{\pi }}{4}}\cdot L$

$V={\displaystyle \frac{(2\text{ dm}{)}^2-(\mathrm{1,6}\text{ dm}{)}^2}{4}}\cdot \pi \cdot 100\text{ dm}=\mathrm{113,097}{\text{ dm}}^3$

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$.

$\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}\iff m=\rho \cdot V$

$m={\rho }_{Stahl}\cdot V=\mathrm{7,85}{\displaystyle \frac{\text{ kg}}{{\text{ dm}}^3}}\cdot \mathrm{113,097}{\text{ dm}}^3=\mathrm{887,811}\text{ kg}$

Berechnung der Wandstärke

Ermittle die Wandstärke als halbe Differenz von Außendurchmesser und Innendurchmesser des Rohrs.

${\displaystyle \frac{D-d}{2}}={\displaystyle \frac{2\text{ dm}-\mathrm{1,6}\text{ dm}}{2}}=\mathrm{0,2}\text{ dm}=20\text{ mm}$

Berechnung der Frontfläche $A_{Ges}=A_1+A_2$

Rechne zunächst die Längen in die Einheit Dezimeter um und berechne dann die beiden Flächen $A_1$ und $A_2$, um über diese leicht an das Volumen des Aluminiumstücks zu gelangen.

--Die Fläche $A_1$ ist Inhalt eines rechtwinkligen Dreieck, dessen Fläche sich als halbes Produkt der Katheten ermitteln lässt. Die Fläche $A_2$ ist Inhalt eines Rechtecks; sie lässt sich also bestimmen als Produkt der beiden verschiedenen Seitenlängen.

--

$\begin{array}{l}{A}_1={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}\text{dm}\cdot \mathrm{1,5}\text{dm}}{2}}=\mathrm{1,125}{\text{dm}}^2\\ A_2=\mathrm{5,5}\text{dm}\cdot \mathrm{2,0}\text{dm}=\mathrm{11,00}{\text{dm}}^2\end{array}$

Für die Frontfläche $A_{Ges}$ gilt also:

$A_{Ges}=A_1+A_2=\mathrm{1,125}{\text{dm}}^2+\mathrm{11,00}{\text{dm}}^2=\mathrm{12,125}{\text{dm}}^2$

Berechnung des Volumens

Aus der Skizze lässt sich erkennen, dass das Aluminiumstück aus einem Quader und einem Prisma besteht. Das Volumen des Aluminiumstücks lässt sich aufgrund dieser Beschaffenheit als Produkt von Frontfläche und Tiefe bestimmen.

Dabei gilt:

$V=A_{Ges}\cdot Tiefe=A_{Ges}\cdot 3\text{dm}=\mathrm{12,125}{\text{dm}}^2\cdot 3\text{dm}=\mathrm{36,375}{\text{dm}}^3$

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um.

Es gilt: $\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}\iff m=\rho \cdot V$

Mit der Dichte $\rho =\mathrm{2,7}{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}}$ und dem vorher bestimmten Volumen $V=\mathrm{36,375}{\text{dm}}^3$ ergibt sich:

$m=\rho \cdot V=\mathrm{2,7}{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}}\cdot \mathrm{36,375}{\text{dm}}^3=\mathrm{98,213}\text{kg}$

Rechne das Volumen in${\text{mm}}^3$ um. Der Umrechnungsfaktor ist $1000000$.

$V=\mathrm{0,459}{\text{dm}}^3=459000{\text{mm}}^3$

Der abgewickelte Draht stellt einen Zylinder dar.

Das Volumen des Zylinders berechnest du mit der Formel $V_Z=\pi \cdot r^2\cdot h.$

Dabei ist $r={\displaystyle \frac{d}{2}}=\mathrm{0,25}\text{mm}$.

Die Formel $V_Z$ muss nach $h$ umgestellt werden:

Der Draht hat eine Länge von rund $2337668\text{mm}$ bzw. rund $2340\text{m}$.

Bestimmung des Volumens

Zur Berechnung des Quadervolumens rechne die Längen in Dezimeter um und multipliziere Länge, Breite und Höhe des Quaders. Hinweis: Die Grundfläche des Quaders ist ein Quadrat.

$100\text{mm}=1\text{dm}$

$V_Q=\mathrm{0,3}\text{dm}\cdot \mathrm{0,3}\text{dm}\cdot \mathrm{0,4}\text{dm}=\mathrm{0,036}{\text{dm}}^3$

Rechne die Längen in Dezimeter um und berechne das Volumen des Zylinders mit der bekannten Formel.

Es ist: $d=18\text{mm}=\mathrm{0,18}\text{dm}$ und $h=35\text{mm}=\mathrm{0,35}\text{dm}$

$V_{Ges}=V_Q+V_Z=\mathrm{0,036}{\text{dm}}^3+\mathrm{0,009}{\text{dm}}^3=\mathrm{0,045}{\text{dm}}^3$

Bestimmung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$.

$\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}\iff m=\rho \cdot V$

$m={\rho }_{Stahl}\cdot V_{Ges}=\mathrm{7,85}\frac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}\cdot \mathrm{0,045}{\text{dm}}^3\approx \mathrm{0,353}\text{kg}$

Da es sich um $20$ Teile handelt, muss die berechnete Masse für einen Lagerzapfen noch mit $20$ multipliziert werden.

$m_{Ges}=20\cdot \mathrm{0,353}\text{kg}=\mathrm{7,06}\text{kg}$

Die Masse aller Lagerzapfen beträgt $\mathrm{7,06}\text{kg}$.

Um das Gewicht des Objekts zu erhalten, berechnest du zunächst das Volumen und dann ergibt der Term "Volumen$\cdot$Dichte" das Gewicht. Da die Dichte in kg/dm³ angegeben ist, verwendest du am besten schon in allen Zwischenschritten die Längeneinheit dm statt m.

Bei der Buchse handelt es sich nun um einen Rotationskörper, den du aus Zylindern zusammensetzen kannst.

Die Volumenformel für Zylinder lautet $V=\pi r^{2}h$ .

Du beginnst am besten von außen, d.h. ganz rechts an der breitesten Stelle.

Damit erhält man das Ergebnis: Das Gewicht in Bronze ist $G=\mathrm{8,6}\text{}\cdot \cdot \mathrm{0,0445}kg=\mathrm{0,3827}kg$

und das Gewicht in Kunststoff ist $\mathrm{2,2}\text{}\cdot \mathrm{0,0445}kg=\mathrm{0,0979}kg$

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um und berechne dann die beiden Flächen $A_1$ und $A_2$:

$\begin{array}{l}{A}_1=\mathrm{1,5}\text{dm}\cdot \mathrm{1,5}\text{dm}=\mathrm{2,25}{\text{dm}}^2\\ A_2=\mathrm{6,0}\text{dm}\cdot \mathrm{2,5}\text{dm}=\mathrm{15,00}{\text{dm}}^2\end{array}$

Berechne nun die Gesamtfläche:

$A_{Ges}=A_1+A_2=\mathrm{2,25}{\text{dm}}^2+\mathrm{15,00}{\text{dm}}^2=\mathrm{17,25}{\text{dm}}^2$

Als nächstes berechnest du das Volumen:

$V=A_{Ges}\cdot 3\text{dm}=\mathrm{17,25}{\text{dm}}^2\cdot 3\text{dm}=\mathrm{51,75}{\text{dm}}^3$

Zum Schluss stellst du die Dichteformel nach m um und setzt den gerade berechneten Wert $V$ ein:

$\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$

$m=\rho \cdot V=\mathrm{7,25}{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}}\cdot \mathrm{51,75}{\text{dm}}^3=\mathrm{375,188}\text{kg}$

Für die Volumenberechnung benötigst du die Grundfläche und die Höhe des Körpers. Die Höhe ist gegeben. Berechne nun die Grundfläche.

Die Grundfläche des Weihnachtssterns

Berechne die Fläche der 5 $\text{Dreiecke}$

Entnimm die Maße der Zeichnung:

Die gesamte Fläche der $5$ $\text{Dreiecke}$ beträgt etwa $\mathrm{19,88}{\text{cm}}^2$.

Berechne die Fläche des Fünfecks

Das Fünfeck setzt sich aus 5 gleichschenkligen Dreiecken zusammen.

Die Basis des Dreiecks ist $\mathrm{2,82}\text{cm}$ lang. Die beiden Schenkel sind $\mathrm{2,4}\text{cm}$ lang. Die Höhe des Dreiecks kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Für das Fünfeck (bestehend aus 5 Dreiecken) folgt dann:

Das Fünfeck hat eine Fläche von $\mathrm{13,68}{\text{cm}}^2$.

Die gesamte Grundfläche des Weihnachtssterns beträgt dann:

$A_{ges}=\mathrm{19,88}{\text{cm}}^2+\mathrm{13,68}{\text{cm}}^2=\mathrm{33,56}{\text{cm}}^2$

Berechne das Volumen

Das Volumen berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe.

Dabei ist die Grundfläche $A=\mathrm{33,56}{\text{cm}}^2$.

Die Höhe beträgt $h=9\text{mm}=\mathrm{0,9}\text{cm}$.

$V=A\cdot h=\mathrm{33,56}{\text{cm}}^2\cdot \mathrm{0,9}\text{ cm}\approx \mathrm{30,2}{\text{cm}}^3$

Der Weihnachtsstern hat ein Volumen von etwa $\mathrm{30,2}{\text{cm}}^3$.

Berechne die Masse des Goldes

Gegeben ist die Dichte $\rho$ des Goldes.

Die Masse berechnest du dann nach der Formel:

Der Weihnachtsstern hat eine Masse von etwa $\mathrm{582,9}\text{g}$.

Berechne den Preis für den Weihnachtsstern

$1\text{g}$ Gold kostet $55\text{€}$.

Dann muss Herr Krösus $\mathrm{582,9}\cdot 55\text{€}=\mathrm{32059,50}\text{€}$ für den Weihnachtsstern bezahlen.

Antwort: Der Weihnachtsstern kostet $\mathrm{32059,50}\text{€}$.