Bestimmen der Winkel $\mathrm{\alpha }$ und $\mathrm{\beta }$.

Das Viereck lässt sich in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, siehe Skizze.

Berechnen der Strecke $\text{𝐞}$ mithilfe des Satzes des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf das braune Teildreieck (siehe Skizze):

${\mathrm{e}}^2={15}^2+{10}^2\Rightarrow \mathrm{e}=\sqrt{225+100}$

$\mathrm{e}=\sqrt{325}$

$\underline{\mathrm{e}=\mathrm{18,03}\text{ m}}$

Berechnen der Winkel ${\mathrm{\alpha }}_1$ und ${\mathrm{\beta }}_1.$

Berechnen des Winkels ${\mathrm{\alpha }}_1$ mithilfe des Sinus.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}$

Angewandt auf das braune Teildreieck:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathrm{\alpha }}_1)={\displaystyle \frac{15}{\mathrm{18,03}}}\Rightarrow \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathrm{\alpha }}_1)=\mathrm{0,8319}$

$\underline{{\mathrm{\alpha }}_1=\mathrm{56,3}°}$

Berechnen des Winkels ${\mathrm{\beta }}_1$.

Die Winkelsumme der Innenwinkel im Dreieck beträgt $180°$, dann gilt für ${\mathrm{\beta }}_1$:

${\mathrm{\beta }}_1=180°-90°-\mathrm{56,3}°$

$\underline{{\mathrm{\beta }}_1=\mathrm{33,7}°}$

Berechnen der Winkel ${\mathrm{\alpha }}_2$ und ${\mathrm{\beta }}_2.$

Berechnen des Winkels ${\mathrm{\alpha }}_2$ mithilfe des Sinus.

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathrm{\alpha }}_2)={\displaystyle \frac{14}{\mathrm{18,03}}}\Rightarrow \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathrm{\alpha }}_2)=\mathrm{0,7765}$

$\underline{{\mathrm{\alpha }}_2=\mathrm{50,9}°}$

Die Winkelsumme der Innenwinkel im Dreieck beträgt $180°$, dann gilt für ${\mathrm{\beta }}_2$:

${\mathrm{\beta }}_2=180°-90°-\mathrm{50,9}°$

$\underline{{\mathrm{\beta }}_2=\mathrm{39,1}°}$

Die Winkel $\mathrm{\alpha }$ und $\mathrm{\beta }$ sind dann:

$\mathrm{\alpha }={\mathrm{\alpha }}_1+{\mathrm{\alpha }}_2$

$\mathrm{\alpha }=\mathrm{56,3}°+\mathrm{50,9}°$

$\underline{\underline{\mathrm{\alpha }=\mathrm{107,2}°}}$

$\mathrm{\beta }={\mathrm{\beta }}_1+{\mathrm{\beta }}_2$

$\mathrm{\beta }=\mathrm{33,7}°+\mathrm{39,1}°$

$\underline{\underline{\mathrm{\beta }=\mathrm{72,8}°}}$

Der Winkel $\mathrm{\alpha }$ beträgt: $\mathrm{\alpha }=\mathrm{107,2}°$

Der Winkel $\mathrm{\beta }$ beträgt: $\mathrm{\beta }=\mathrm{72,8}°$

Bestimmen des Umfangs der Figur.

Umfang der Figur:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{r}}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}$

Die Längen der Seiten $\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}$sind bekannt, die Länge der Seite $\text{d}$ muss noch berechnet werden.

Berechnen der Seite $\text{d}$ mithilfe des Satzes des Pythagoras.

${\mathrm{d}}^2={\mathrm{e}}^2-{\mathrm{a}}^2$

${\mathrm{d}}^2={\mathrm{18,03}}^2-{14}^2\Rightarrow \mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{325,08}-196}$

$\mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{129,08}}$

$\underline{\mathrm{d}=\mathrm{11,36}\text{ m}}$

Der Umfang der Figur ist dann:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{r}}=14+15+10+\mathrm{11,36}$

$\underline{\underline{{\mathrm{U}}_{\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{r}}=\mathrm{50,36}\text{ m}}}$

Der Umfang der Figur beträgt etwa $\mathrm{50,4}\text{ m}$.

Einzeichnen der gespiegelten Parabel in ein Koordinatensystem.

Der Abstand der gegebenen Parabel von der Spiegelachse, $(\text{y}=\mathrm{2,5})$ beträgt $3+\mathrm{2,5}=\mathrm{5,5}\mathrm{L}\mathrm{E}$. Der Scheitelpunkt der gespiegelten Parabel liegt dann $\mathrm{5,5}\mathrm{L}\mathrm{E}$ oberhalb der Spiegelachse auf der $\text{y}$-Achse (Normalparabel).

Darstellung der gegebenen Parabel (blau), der gespiegelten Parabel (grün) und der Spiegelachse im Koordinatensystem.

Bestimmen des Scheitelpunkts der gespiegelten Parabel.

Die Scheitelform lautet:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}\cdot (\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{S}}{)}^2+{\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}$

Da es sich bei der gespiegelten Parabel um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor $\text{a}=-1$.

Der $\text{y}$-Koordinate des Scheitelpunkts ${\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}=8$, die x-Koordinate des Scheitelpunkts ${\mathrm{x}}_{\mathrm{S}}=0$(siehe Darstellung Koordinatensystem).

Die Scheitelform der gespiegelten Parabel ist dann:

${\mathrm{y}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}}=-(\mathrm{x}+0{)}^2+8$

${\mathrm{y}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}}=-{\mathrm{x}}^2+8$

Der Scheitelpunkt der gespiegelten Parabel ist: $\mathrm{S}\left(0|8\right)$.

Bestimmen des Punktes, an dem sich die beiden Geraden ${\mathrm{g}}_1$ und ${\mathrm{g}}_2$ schneiden.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{t}$

Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung lässt sich die Funktionsgleichung der Geraden ${\mathrm{g}}_2$ aufstellen.

Die Funktionsgleichung von ${\mathrm{g}}_2:\mathrm{y}=-3\mathrm{x}+\mathrm{2,5}$

Gleichsetzen der Geradengleichungen ${\mathrm{g}}_1$ und ${\mathrm{g}}_2$.

Einsetzen des berechneten x-Wertes in z. B. ${\mathrm{g}}_1$

$\mathrm{y}=2\cdot (-\mathrm{0,5})+5\Rightarrow \mathrm{y}=-1+5$

$\mathrm{y}=4$

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist dann:$\mathrm{P}(-\mathrm{0,5}|4)$

Überprüfen, welche der Geraden ${\mathrm{y}}_1;$${\mathrm{y}}_2$ oder ${\mathrm{y}}_3$ parallel zu ${\mathrm{g}}_1$ ist. Begründe deine Aussage.

${\mathrm{y}}_1=2\mathrm{x}-3$

${\mathrm{y}}_2=3\mathrm{x}+5{\mathrm{g}}_1=2\mathrm{x}+5$

${\mathrm{y}}_2=-2\mathrm{x}+5$

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{t}$

Vergleichen der Steigungen der gegebenen Geraden.

${\mathrm{m}}_{{\mathrm{y}}_1}=2;{\mathrm{m}}_{{\mathrm{y}}_2}=3;{\mathrm{m}}_{{\mathrm{y}}_3}=-2$

${\mathrm{m}}_{{\mathrm{g}}_1}=2$

Begründung:

Die Steigung der Geraden ${\mathrm{g}}_1$ ist $2$, die einzige Gerade, deren Steigung ebenfalls $2$ ist, ist die Gerade der Funktionsgleichung ${\mathrm{y}}_1$. Also ist die Gerade der Funktionsgleichung ${\mathrm{y}}_1$ parallel zur Geraden ${\mathrm{g}}_1$.