Beschreibe im Sachzusammenhang das Ereignis $\overline{J}\cap \overline{V}$

Gegeben:

$J$: „Der Kauf wurde von einer Person getätigt, die jünger als $60$ Jahre ist.“

$V$: „Der Kauf wurde im Verkaufsbüro getätigt.“

Dann ist $\overline{J}$: „Der Kauf wurde von einer Person getätigt, die mindestens $60$ Jahre alt ist.“ und $\overline{V}$: „Der Kauf wurde im Internet getätigt.“

$\overline{J}\cap \overline{V}$: Der Kauf der Karte wurde von einer Person getätigt, die mindestens $60$ Jahre alt ist und die Karte wurde im Internet gekauft.

Ermittle, z. B. mithilfe eines Baumdiagramms, die Wahrscheinlichkeit $p$ dafür, dass der Kauf im Internet getätigt wurde

$\overline{V}$: „Der Kauf wurde im Internet getätigt.“

Bekannt ist: Insgesamt werden $54\%$ der Kartenkäufe von Personen getätigt, die mindestens $60$ Jahre alt sind.

Mithilfe des Baumdiagramms erhält man die folgende Gleichung:

$p\cdot \mathrm{0,1}+(1-p)\cdot \mathrm{0,65}=\mathrm{0,54}\Rightarrow \mathrm{0,1}p+\mathrm{0,65}-\mathrm{0,65}p=\mathrm{0,54}\Rightarrow -\mathrm{0,55}p=-\mathrm{0,11}$

$\Rightarrow p={\displaystyle \frac{11}{55}}={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}✓$

Die Wahrscheinlichkeit $p$ dafür, dass der Kauf im Internet getätigt wurde, beträgt $\mathrm{0,2}$.

Berechne für den Fall, dass der Kauf von einer Person getätigt wurde, die jünger als $60$ Jahre ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kauf im Verkaufsbüro getätigt wurde

Es ist $P(V\cap J)=(1-\mathrm{0,2})\cdot \mathrm{0,35}=\mathrm{0,28}$ und $P(J)=P(V\cap J)+P(I\cap J)=\mathrm{0,28}+\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,9}$

$\Rightarrow P(J)=\mathrm{0,46}$

Gesucht ist $P_J(V)={\displaystyle \frac{P(V\cap J)}{P(J)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}}{\mathrm{0,46}}}\approx \mathrm{0,609}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kauf von einer Person getätigt wurde, die jünger als $60$ Jahre ist, und dass der Kauf im Verkaufsbüro getätigt wurde, beträgt rund $\mathrm{0,609}$.