Stochastik Teil B, Aufgabengruppe 1

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

A: „Es werden genau $130$ Brotzeitteller bestellt.“

Gegeben: $n=200$ und $p=\mathrm{0,65}$.

Berechne $P(X=130)=B(200;\mathrm{0,65};130)\approx \mathrm{0,0591}$ (mit dem TR)

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $130$ Brotzeitteller bestellt werden, beträgt rund $\mathrm{0,0591}$.

B: „Es werden mehr als $140$ Brotzeitteller bestellt.“

Berechne $P(X\ge 141)=1-P(X\le 140)=1-F(200;\mathrm{0,65};140)\approx 1-\mathrm{0,9416}=\mathrm{0,0584}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $140$ Brotzeitteller bestellt werden, beträgt rund $\mathrm{0,0584}$.

Gib $P(E)$ in Prozent an

$P(E)={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{40}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{160}{3}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{200}{5}\right)}}\approx \mathrm{0,2061}$

$P(E)\approx \mathrm{20,61}\%$.

Übertrage das beschriebene Zufallsexperiment der Verlosung und das Ereignis $E$ in ein passendes Urnenmodell

Urnenmodell:

Das Ereignis $E$ ist: „Genau zwei Inhaber eines Abonnements gewinnen ein signiertes Buch.“

In einer Urne befinden sich $200$ Kugeln, davon sind $160$ schwarze und $40$ weiße Kugeln. Man zieht nacheinander $5$ Kugeln, ohne zurückzulegen.

Von den 5 gezogenen Kugeln sind 2 weiß und 3 schwarz.

Wer eine weiße Kugel zieht, gewinnt ein signiertes Buch des auftretenden Kabarettisten.

$40$$\Rightarrow$ ist die Zahl der Inhaber eines Abonnements.

$2$ $\Rightarrow$genau zwei Inhaber eines Abonnements gewinnen ein signiertes Buch.

$160$$\Rightarrow$ ist die Zahl der Gäste, die kein Abonnement haben.

$200$$\Rightarrow$Gesamtzahl der Gäste.

$5\Rightarrow$Anzahl der signierten Bücher.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Inhaber eines Abonnements unter den Gewinnern sind

$P(\text{" mindestens 2"})=1-P(\text{" höchstens 1"})=1-(P(X=0)+P(X=1))$

$P(X=0)={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{40}{0}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{160}{5}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{200}{5}\right)}}\approx \mathrm{0,3235}$ und $P(X=1)={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{40}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{160}{4}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{200}{5}\right)}}\approx \mathrm{0,4148}$

$P(\text{" mindestens 2"})=1-(\mathrm{0,3235}+\mathrm{0,4148}))=1-\mathrm{0,7383}=\mathrm{0,2617}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Inhaber eines Abonnements unter den Gewinnern sind, beträgt rund $\mathrm{0,2617}$.

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term ${\displaystyle \frac{40}{200}}\cdot {\displaystyle \frac{160}{199}}\cdot {\displaystyle \frac{39}{198}}\cdot {\displaystyle \frac{159}{197}}\cdot {\displaystyle \frac{158}{196}}$ berechnet werden kann

$40$ Gäste sind Inhaber eines Abonnements: $A$

$160$ Gäste haben kein Abonnement: $\overline{A}$

Siehe Urnenmodell, Aufgabe b).

Das Ereignis ist:

Zuerst zieht einer der $40$ Gäste, der Inhaber eines Abonnements ist, eine weiße Kugel aus der Urne, ohne sie zurückzulegen$\Rightarrow {\displaystyle \frac{40}{200}}$.

Danach zieht einer der $160$ Gäste, der kein Abonnement besitzt, eine weiße Kugel aus der Urne, ohne sie zurückzulegen$\Rightarrow {\displaystyle \frac{160}{199}}$.

Dann zieht wieder einer der verbleibenden $39$ Gäste, der Inhaber eines Abonnements ist, eine weiße Kugel aus der Urne, ohne sie zurückzulegen$\Rightarrow {\displaystyle \frac{39}{198}}$.

Der Nächste, der eine weiße Kugel aus der Urne zieht, ohne sie zurückzulegen, ist einer der verbleibenden $159$ Gäste, der kein Abonnement besitzt$\Rightarrow {\displaystyle \frac{159}{197}}$.

Der Letzte, der eine weiße Kugel aus der Urne zieht, ohne sie zurückzulegen, ist wieder einer der verbleibenden $158$ Gäste, der kein Abonnement besitzt$\Rightarrow {\displaystyle \frac{158}{196}}$.

Damit bedeutet ${\displaystyle \frac{40}{200}}\cdot {\displaystyle \frac{160}{199}}\cdot {\displaystyle \frac{39}{198}}\cdot {\displaystyle \frac{159}{197}}\cdot {\displaystyle \frac{158}{196}}$ die Wahrscheinlichkeit, dass der 1. und 3. Buchgewinner aus der Gruppe der Abonnementen kommen und die restlichen drei Buchgewinner kommen aus der Gruppe der $160$ Nicht-Abonnementen.

$P(A,\overline{A},A,\overline{A},\overline{A})={\displaystyle \frac{40}{200}}\cdot {\displaystyle \frac{160}{199}}\cdot {\displaystyle \frac{39}{198}}\cdot {\displaystyle \frac{159}{197}}\cdot {\displaystyle \frac{158}{196}}$

Beschreibe im Sachzusammenhang das Ereignis $\overline{J}\cap \overline{V}$

Gegeben:

$J$: „Der Kauf wurde von einer Person getätigt, die jünger als $60$ Jahre ist.“

$V$: „Der Kauf wurde im Verkaufsbüro getätigt.“

Dann ist $\overline{J}$: „Der Kauf wurde von einer Person getätigt, die mindestens $60$ Jahre alt ist.“ und $\overline{V}$: „Der Kauf wurde im Internet getätigt.“

$\overline{J}\cap \overline{V}$: Der Kauf der Karte wurde von einer Person getätigt, die mindestens $60$ Jahre alt ist und die Karte wurde im Internet gekauft.

Ermittle, z. B. mithilfe eines Baumdiagramms, die Wahrscheinlichkeit $p$ dafür, dass der Kauf im Internet getätigt wurde

$\overline{V}$: „Der Kauf wurde im Internet getätigt.“

Bekannt ist: Insgesamt werden $54\%$ der Kartenkäufe von Personen getätigt, die mindestens $60$ Jahre alt sind.

Mithilfe des Baumdiagramms erhält man die folgende Gleichung:

$p\cdot \mathrm{0,1}+(1-p)\cdot \mathrm{0,65}=\mathrm{0,54}\Rightarrow \mathrm{0,1}p+\mathrm{0,65}-\mathrm{0,65}p=\mathrm{0,54}\Rightarrow -\mathrm{0,55}p=-\mathrm{0,11}$

$\Rightarrow p={\displaystyle \frac{11}{55}}={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}✓$

Die Wahrscheinlichkeit $p$ dafür, dass der Kauf im Internet getätigt wurde, beträgt $\mathrm{0,2}$.

Berechne für den Fall, dass der Kauf von einer Person getätigt wurde, die jünger als $60$ Jahre ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kauf im Verkaufsbüro getätigt wurde

Es ist $P(V\cap J)=(1-\mathrm{0,2})\cdot \mathrm{0,35}=\mathrm{0,28}$ und $P(J)=P(V\cap J)+P(I\cap J)=\mathrm{0,28}+\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,9}$

$\Rightarrow P(J)=\mathrm{0,46}$

Gesucht ist $P_J(V)={\displaystyle \frac{P(V\cap J)}{P(J)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}}{\mathrm{0,46}}}\approx \mathrm{0,609}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kauf von einer Person getätigt wurde, die jünger als $60$ Jahre ist, und dass der Kauf im Verkaufsbüro getätigt wurde, beträgt rund $\mathrm{0,609}$.