Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar

Bekannt: $72\%$ der Personen sind jünger als $50$ Jahre. $18\%$ der Personen sind jünger als $50$ Jahre und wohnen nicht in einer Großstadt. Der Anteil der Personen, die in einer Großstadt wohnen, beträgt $75\%$.

$J$: Person ist jünger als $50$ Jahre

$G$: Person wohnt in der Großstadt

Übertrage die gegebenen Werte in die Vierfeldertafel:

Ergänze die fehlenden Felder.

$P(\overline{G})=1-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,25}$

Dann erhältst Du $P(\overline{G}\cap \overline{J})=\mathrm{0,25}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,07}$ und die letzten fehlenden Werte durch Differenzbildung.

$\mathrm{0,28}-\mathrm{0,07}=\mathrm{0,21}$ und $\mathrm{0,72}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,54}$

Beurteile die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person in einer Großstadt wohnt und nicht jünger als $50$ Jahre ist, ist etwa halb so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person entweder in einer Großstadt wohnt oder nicht jünger als $50$ Jahre ist

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person in einer Großstadt wohnt und nicht jünger als $50$ Jahre ist $\Rightarrow P(G\cap \overline{J})=\mathrm{0,21}$

Eine zufällig ausgewählte Person wohnt entweder in einer Großstadt oder ist nicht jünger als $50$ Jahre, d.h. genau eines der beiden Ereignisse tritt ein.

$\Rightarrow P(G\cap J)\cup P(P(\overline{G}\cap \overline{J})=\mathrm{0,54}+\mathrm{0,07}=\mathrm{0,61}$

$\Rightarrow 2\cdot \mathrm{0,21}$ ist deutlich kleiner als $\mathrm{0,61}$.

Die Aussage ist falsch.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als drei Viertel dieser Personen in einer Großstadt wohnen

Bekannt: Es werden $160$ Personen zufällig ausgewählt$\Rightarrow n=160$. Der Anteil der Personen, die in einer Großstadt wohnen, beträgt $75\%$.

${\displaystyle \frac{3}{4}}$ von $160$ Personen sind $120$ Personen.

Berechne $P(X<120)=P(X\le 119)=F(160;\mathrm{0,75};119)\approx \mathrm{0,4576}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als drei Viertel dieser Personen in einer Großstadt wohnen, beträgt rund $\mathrm{0,46}$.

Untersuche, ob jede der drei Bedingungen erfüllt ist

Dichtefunktion allgemein: $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }}\cdot e^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}\right)}^2}$

In dieser Aufgabe: $\phi (x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2\pi }}}\cdot e^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{x-250}{2}}\right)}^2}$

𝑌: Tatsächliche Füllmenge des Glases in Gramm

Der Vergleich von $f(x)$ und $\phi (x)$ zeigt, dass gilt: $\mu =250$ und $\sigma =2$.

Bedingung I: Der Erwartungswert der tatsächlichen Füllmenge in Gramm liegt nicht unter der aufgedruckten Füllmenge.

Es gilt $\mu =250$. Damit ist Bedingung I erfüllt.

Bedingung II: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in

Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens eine Minusabweichung nach unten abweicht, beträgt höchstens $6\%$.

Es ist $\mu =250$ Gramm und die Minusabweichung beträgt $\mathrm{4,5}$ Gramm.

Gesucht ist $P(Y\le 250-\mathrm{4,5})=P(Y\le \mathrm{245,5})$.

Der TR liefert mit der Funktion Normal CD und den Eingaben

"untere Grenze $-100$", "obere Grenze $\mathrm{245,5}$", $\sigma =2$ und $\mu =250$

den Wert $\approx \mathrm{0,01222....}$

Damit ist wegen $𝑃(𝑌\le \mathrm{245,5})\approx \mathrm{0,012}<\mathrm{0,06}$ Bedingung II erfüllt.

Bedingung III: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens zwei Minusabweichungen nach unten abweicht, beträgt höchstens $\mathrm{0,2}\%$.

Gesucht ist $P(Y\le 250-2\cdot \mathrm{4,5})=P(Y\le 241)$

Der TR liefert mit der Funktion Normal CD und den Eingaben

"untere Grenze $-100$", "obere Grenze $241$" $\sigma =2$ und $\mu =250$

den Wert $\approx {\mathrm{3,39767...10}}^{-6}$

Wegen $𝑃(𝑌\le 241)\approx \mathrm{0,000003}<\mathrm{0,002}$ ist auch Bedingung III erfüllt.

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist: Wenn diese Produktion die Bedingung $\mathrm{II}$ erfüllt, dann erfüllt sie auch die Bedingung $\mathrm{III}$

$𝑍$: Tatsächliche Füllmenge des Glases in Gramm

$𝑍$ ist normalverteilt mit den Parametern $\mu =250$ und $\sigma$.

Bedingung II: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in

Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens eine Minusabweichung nach unten abweicht, beträgt höchstens $6\%$.

$\Rightarrow 𝑃(𝑍\le \mathrm{245,5})<\mathrm{0,06}$

Gesucht ist der Wert für $\sigma$.

Systematisches Probieren ergibt folgende Werte:

$\mu =250$ und $\sigma =\mathrm{2,5}\Rightarrow 𝑃(𝑍\le \mathrm{245,5})\approx \mathrm{0,036}$

$\mu =250$ und $\sigma =3\Rightarrow 𝑃(𝑍\le \mathrm{245,5})\approx \mathrm{0,0668}>\mathrm{0,06}$

$\Rightarrow \sigma <3$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine mit $\mu =250$ und $\sigma =3$ normalverteilte Zufallsgröße Werte im Intervall $]-\infty ;241]$ annimmt, beträgt etwa $\mathrm{0,00135}$.

(Berechnung der Wahrscheinlichkeit entsprechend Aufgabe d.)

Bedingung III: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens zwei Minusabweichungen nach unten abweicht, beträgt höchstens $\mathrm{0,2}\%$.

$\Rightarrow 𝑃(𝑍<241)<\mathrm{0,00135}<\mathrm{0,002}$, also ist auch Bedingung III erfüllt.

Die Aussage ist wahr.