Wahlteil-GTR

Zeige, dass $𝑥=0,𝑥=𝑘$ und $𝑥=2𝑘$ für jeden Wert von $𝑘$ Stellen mit waagerechter Tangente von ${𝐺}_{𝑘}$ sind

Bekannt: ${𝑓}_{𝑘}\text{′}(𝑥)={\displaystyle \frac{2}{k}}\cdot x\cdot (x-k)\cdot (x-2k)$

Setze $x=0$ in $f_k\text{′}(x)$ ein:

$f_{𝑘}\text{′}(0)={\displaystyle \frac{2}{k}}\cdot 0\cdot (0-k)\cdot (0-2k)=0$

Setze $x=k$ in $f_k\text{′}(x)$ ein:

${𝑓}_{𝑘}\text{′}(k)={\displaystyle \frac{2}{k}}\cdot k\cdot (k-k)\cdot (k-2k)=0$

Setze $x=2k$ in $f_k\text{′}(x)$ ein:

${𝑓}_{𝑘}\text{′}(2k)={\displaystyle \frac{2}{k}}\cdot 2k\cdot (2k-k)\cdot (2k-2k)=0$

Berechne diesen Abstand

Gegeben: ${𝑓}_{𝑘}(𝑥)={\displaystyle \frac{1}{2k}}\cdot x^2\cdot (x-2k{)}^2$ und Hochpunkt von ${𝐺}_{𝑘}$.

Hochpunkt bei $x=k$: $\Rightarrow {𝑓}_{𝑘}(k)={\displaystyle \frac{1}{2k}}\cdot k^2\cdot (k-2k{)}^2={\displaystyle \frac{k^3}{2}}$

Ein Tiefpunkt liegt bei $x=0$vor $\Rightarrow {𝑓}_{𝑘}(0)={\displaystyle \frac{1}{2k}}\cdot 0^2\cdot (0-2k{)}^2=0$.

$\Rightarrow HP(k|\frac{k^3}{2})$ und $TP(0|0)$.

Der Abstand der beiden Punkte ist dann:

$d=\sqrt{(k-0{)}^2+{({\displaystyle \frac{k^3}{2}}-0)}^2}=\sqrt{k^2+{\displaystyle \frac{k^6}{4}}}$

Der Abstand der beiden Punkte beträgt $d=\sqrt{k^2+{\displaystyle \frac{k^6}{4}}}$.

Beurteile die folgende Aussage, ohne den Wert eines Integrals zu berechnen: Für jeden Wert von $𝑘$ gibt der Term $${\displaystyle {\int }_{-1}^1{f}_k(x)\mathrm{d}x}$$ den Inhalt der betrachteten Fläche an

Gegeben ${𝑓}_{𝑘}(𝑥)={\displaystyle \frac{1}{2k}}\cdot x^2\cdot (x-2k{)}^2$ und $𝑘\in {ℝ}^{+}$.

Der Term ${\displaystyle \frac{1}{2k}}$ ist wegen $𝑘\in {ℝ}^{+}$ größer null.

$x^2>0$ und $(x-2k{)}^2>0$ (quadratische Terme).

${𝑓}_{𝑘}(𝑥)$ ist als Produkt von drei Faktoren gegeben, die alle nur positive Werte annehmen. Demnach gibt es keine Flächenstücke unterhalb der $𝑥$-Achse, womit die Aussage richtig ist.

Untersuche, ob die folgende Aussage richtig ist: Für $𝑘>2$ ist der Inhalt der Fläche kleiner als ${𝑘}^5$

Es gilt: ${𝑓}_{𝑘}(𝑥)\ge 0$ für alle $x\in ℝ$.

Flächeninhalt: $${\displaystyle {\int }_{-k}^k{𝑓}_{𝑘}(𝑥)\mathrm{d}x=F_k(k)-F_k(-k)}$$

Gegeben ist ${𝐹}_{𝑘}(𝑥)={\displaystyle \frac{1}{10k}}{x}^5-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4+{\displaystyle \frac{2k}{3}}{x}^3$.

$\Rightarrow {𝐹}_{𝑘}(k)={\displaystyle \frac{1}{10k}}{k}^5-{\displaystyle \frac{1}{2}}{k}^4+{\displaystyle \frac{2k}{3}}{k}^3={\displaystyle \frac{1}{10}}{k}^4-{\displaystyle \frac{1}{2}}{k}^4+{\displaystyle \frac{2}{3}}{k}^4={\displaystyle \frac{4}{15}}{k}^4$ und

${𝐹}_{𝑘}(-k)={\displaystyle \frac{1}{10k}}(-k{)}^5-{\displaystyle \frac{1}{2}}(-k{)}^4+{\displaystyle \frac{2k}{3}}(-k{)}^3=-{\displaystyle \frac{1}{10}}{k}^4-{\displaystyle \frac{1}{2}}{k}^4-{\displaystyle \frac{2}{3}}{k}^4=-{\displaystyle \frac{19}{15}}{k}^4$

$${\displaystyle {\int }_{-k}^k{𝑓}_{𝑘}(𝑥)\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{4}{15}}{k}^4-(-{\displaystyle \frac{19}{15}}{k}^4)={\displaystyle \frac{23}{15}}{k}^4}$$

Ist der Inhalt der Fläche kleiner als ${𝑘}^5$?

${\displaystyle \frac{23}{15}}{k}^4<k^5\Rightarrow k>{\displaystyle \frac{23}{15}}$

Dabei ist die Aussage für alle $k>2$ richtig.

Bestimme die größte und die kleinste momentane Zuflussrate im betrachteten Zeitraum $0\le 𝑥\le 5$

${𝑓}_{\mathrm{2,5}}(𝑥)={\displaystyle \frac{1}{2\cdot \mathrm{2,5}}}\cdot x^2\cdot (x-2\cdot \mathrm{2,5}{)}^2={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x^2\cdot (x-5{)}^2$

$\Rightarrow$$𝑟(𝑥)={𝑒}^{𝑥}\cdot {𝑓}_{\mathrm{2,5}}(𝑥)=e^x\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x^2\cdot (x-5{)}^2={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x^2\cdot (x-5{)}^2\cdot e^x$

Lasse Dir den Graphen von $r(x)$ anzeigen.

$G_r$ hat im gegebenen Intervall den Hochpunkt $({𝑥}_1|𝑟({𝑥}_1))$ mit ${𝑥}_1\approx \mathrm{3,7}$ und $𝑟({𝑥}_1)\approx 187$ sowie den Tiefpunkt $(5|0)$. Außerdem gilt $𝑟(0)=0$.

Die kleinste momentane Zuflussrate beträgt somit $0{\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$ und die größte etwa $187{\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$.

Beschreibe die Bedeutung des Wertes $𝑟\text{′}({𝑥}_0)$, die sich aus diesen Informationen ergibt, im Sachzusammenhang

Im Wendepunkt an der Stelle $x_0$ hat die Steigung der Funktion ihren Extremwert, ist also entweder am stärksten steigend oder am stärksten fallend.

Gegeben ist $r\text{′}({𝑥}_0)\approx \mathrm{100,5}$, d.h. die momentane Zuflussrate steigt im betrachteten Zeitraum mit etwa $\mathrm{100,5}{\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$ am stärksten zu dem Zeitpunkt an, der durch $x_0$ beschrieben wird.

Erläutere, dass mit diesen Eintragungen die folgende Aussage begründet werden kann: $${\displaystyle {\int }_4^{5}r(x)\mathrm{d}x<120}$$

In der Abbildung hat das Rechteck mit $120$ einen größeren Inhalt als die

schraffierte Fläche.

Die nicht schraffierte graue Fläche hat einen größeren Inhalt als der Teil der schraffierten Fläche, der nicht zum Rechteck gehört.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang

In der letzten Stunde des betrachteten Zeitraums sind weniger als $120{\text{ m}}^3$

Regenwasser in das Auffangbecken geflossen.

Gib einen Term an, der das Wasservolumen im Auffangbecken zu einem beliebigen Zeitpunkt nach dem Einschalten der Pumpe in Kubikmetern beschreibt

Füllmenge des Auffangbeckens zur Zeit $t=0$: $186{\text{ m}}^3$.

Zufluss in das Auffangbecken von $t=0$ bis $t=x$: $${\displaystyle {\int }_0^{x}r(t)\mathrm{d}t}$$.

$c$ beschreibt die konstante Entnahmerate der Pumpe in ${\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$.

$(x-\mathrm{3,5})$ ist die Zeit nach dem Einschalten der Pumpe.

$-c\cdot (x-\mathrm{3,5})$ ist das abgepumpte Wasservolumen in${\text{ m}}^3$ nach dem Einschalten der Pumpe.

Damit ergibt sich der folgende Term:

$$186+{\displaystyle {\int }_0^{x}r(t)\mathrm{d}t-c\cdot (x-\mathrm{3,5})}$$

Bestimme die maximale Höhe, die ein solches $2\text{ m}$ breites Fenster haben kann

Berechne $f(1)$:

$f(1)=\mathrm{0,025}\cdot 1^4-\mathrm{0,3}\cdot 1^2+\mathrm{0,9}=\mathrm{0,025}+\mathrm{0,6}=\mathrm{0,625}$

Die maximale Höhe, die ein solches $2\text{ m}$ breites Fenster haben kann, beträgt $\mathrm{0,625}\text{ m}$.

Untersuche, ob die Vorgabe bei der betrachteten Fledermausgaube eingehalten wird

Berechnung der Höhe $f(0)$:

$f(0)=\mathrm{0,9}$

Die Höhe beträgt $\mathrm{0,9}\text{ m}$.

Berechnung der Breite:

Ermittle die Nullstellen, indem Du Dir den Graphen von $f$ anzeigen lässt und die Nullstellen bestimmst: $x_1\approx -\mathrm{2,44949}$ und $x_2\approx \mathrm{2,44949}$.

Die Breite ist dann $2\cdot \mathrm{2,44949}\approx \mathrm{4,9}\text{ m}$.

Das Verhältnis von Breite zu Höhe ist dann $\mathrm{4,9}:\mathrm{0,9}\approx \mathrm{5,4}:1$.

Das Verhältnis von Breite zu Höhe soll bei Fledermausgauben zwischen $5:1$ und $8:1$ liegen. Die Vorgabe wird mit $\mathrm{5,4}:1$ eingehalten.

Weise nach, dass dies bei der betrachteten Fledermausgaube erfüllt ist

Die maximale Steigung liegt im Wendepunkt vor.

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime }(x)=0$.

Der GTR-Rechner liefert die beiden Lösungen $x_1\approx -\mathrm{1,4142}$ und $x_2\approx \mathrm{1,4142}$.

Da $G_f$ symmetrisch zur y-Achse ist (nur gerade Exponenten) ist der Betrag der Steigung in beiden Wendestellen identisch.

Für die Steigung in den beiden Wendepunkten liefert der GTR-Rechner die Lösungen $f^{\prime }(x_1)\approx \mathrm{0,5657}$ und $f^{\prime }(x_2)\approx -\mathrm{0,5657}$.

Dann gilt für den Winkel: $\tan \alpha =|f^{\prime }(x_1)|\Rightarrow \alpha ={\tan }^{-1}(\mathrm{0,5657})\approx \mathrm{29,5}°$.

Gegeben: Aus ästhetischen Gründen soll die maximale Steigung der Profillinie einer Fledermausgaube maximal $30°$ betragen. Dies ist mit $\mathrm{29,5}°$ bei der betrachteten Fledermausgaube erfüllt.

Berechne den Flächeninhalt der beiden Fensterscheiben

Oberer Fensterrand: $o(x)=f(x)-\mathrm{0,1}$.

Unterer Fensterrand: $u(x)=\mathrm{0,1}$.

Bestimme die Schnittpunkte von $o(x)$ und $u(x)$:

$o(x)$ = $u(x)$\$;\Rightarrow f(x)-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,1}\Rightarrow f(x)=\mathrm{0,2}$

Der GTR-Rechner liefert für $x\in [-\mathrm{2,45};\mathrm{2,45}]$ die beiden Lösungen $x_1\approx -\mathrm{1,78}$ und $x_2\approx \mathrm{1,78}$.

Wegen der in Aufgabe c) angegebenen Symmetrie und dem $10\text{ cm}=\mathrm{0,1}\text{ m}$ breiten Steg zwischen den beiden Fensterscheiben, kann die Fensterfläche folgendermaßen berechnet werden:

$$2\cdot {\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,05}}^{x_2}(o(x)-u(x))\mathrm{d}x\approx \mathrm{1,47}}$$

Der Flächeninhalt der beiden Fensterscheiben beträgt rund $\mathrm{1,47}{\text{ m}}^2$.

Begründe, dass das Fenster nicht über die gesamte Breite des unteren Randes der Fledermausgaube verlaufen kann

Bekannt: Die $𝑥$-Achse stellt zwischen den Nullstellen ${𝑛}_1$ und ${𝑛}_2$ von $𝑓$ den unteren Rand der Fledermausgaube dar.

Verbindet man den $HP(0|\mathrm{0,9})$ mit einer Nullstelle $N(\mathrm{2,45}|0)$ mit einer Geraden, so verläuft diese sowohl ober- als auch unterhalb der Graphen von $f$, d.h. die Gerade kann keine Seite eines dreieckigen Fensters sein.

$HP$ muss auf der gesuchten Geraden liegen und die Gerade muss im Bereich zwischen $HP$ und $N$ Tangente im Punkt $P(u|𝑓(u))$ an den Graphen von $f$ sein.

Tangentengleichung: $t(x)=mx+b$ mit $m=f^{\prime }(u)$

$f^{\prime }(x)=\mathrm{0,1}{x}^3-\mathrm{0,6}x\Rightarrow f^{\prime }(u)=\mathrm{0,1}{u}^3-\mathrm{0,6}u$

$\Rightarrow t(x)=(\mathrm{0,1}{u}^3-\mathrm{0,6}u)x+b$

Setze $HP(0|\mathrm{0,9})$ in $t(x)$ ein:

$\mathrm{0,9}=(\mathrm{0,1}{u}^3-\mathrm{0,6}u)\cdot 0+b\Rightarrow b=\mathrm{0,9}\Rightarrow t(x)=(\mathrm{0,1}{u}^3-\mathrm{0,6}u)x+\mathrm{0,9}$

Der Punkt $P(u|𝑓(u))$ liegt sowohl auf $f$ und auf $t$ $\Rightarrow f(u)=t(u)$

$t(u)=(\mathrm{0,1}{u}^3-\mathrm{0,6}u)\cdot u+\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}{u}^4-\mathrm{0,6}{u}^2+\mathrm{0,9}$

Die Schnittpunkte der beiden Graphen $G_f$ und $G_t$ sind $u_1=-2,u_2=0$ und $u_3=2$. Nur $u_3$ liegt im geforderten Bereich.

Einsetzen von $u_3=2$ in $t(x)$ liefert:

$t(x)=(\mathrm{0,1}\cdot 2^3-\mathrm{0,6}\cdot 2)x+\mathrm{0,9}=(\mathrm{0,8}-\mathrm{1,2})x+\mathrm{0,9}=-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,9}$

Die Nullstelle von $t$ ist ${\displaystyle \frac{9}{4}}=\mathrm{2,25}$. Die Basis des Dreiecks ist dann $2\cdot \mathrm{2,25}=\mathrm{4,5}\text{ m}$.

Dann erhält man für den maximalen Flächeninhalt in ${\text{ m}}^2$:

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{4,5}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{2,025}$

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Erläutere die Schritte der Berechnung und gib die Bedeutung von $𝑑({𝑥}_2)$ im Sachkontext an

$\mathrm{I}.$ Die Differenzfunktion $d$ der Funktionen $𝑓$ und $𝑔$ wird gebildet.

$\mathrm{II}.$ Die möglichen Extremstellen der Differenzfunktion im Bereich ${𝑛}_1\le 𝑥\le 0$ werden berechnet.

$\mathrm{III}.$ Die möglichen Extremstellen werden überprüft.

$\mathrm{IV}.$ Die Funktionswerte der Differenzfunktion an den Rändern des Definitionsbereiches und an der Stelle ${𝑥}_2$ werden berechnet.

An der Stelle ${𝑥}_2$ haben die durch $𝑓$ und $𝑔$ beschriebenen oberen Profillinien die maximale vertikale Entfernung von etwa $\mathrm{0,06}\text{ m}$.

Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar

Bekannt: $72\%$ der Personen sind jünger als $50$ Jahre. $18\%$ der Personen sind jünger als $50$ Jahre und wohnen nicht in einer Großstadt. Der Anteil der Personen, die in einer Großstadt wohnen, beträgt $75\%$.

$J$: Person ist jünger als $50$ Jahre

$G$: Person wohnt in der Großstadt

Übertrage die gegebenen Werte in die Vierfeldertafel:

Ergänze die fehlenden Felder.

$P(\overline{G})=1-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,25}$

Dann erhältst Du $P(\overline{G}\cap \overline{J})=\mathrm{0,25}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,07}$ und die letzten fehlenden Werte durch Differenzbildung.

$\mathrm{0,28}-\mathrm{0,07}=\mathrm{0,21}$ und $\mathrm{0,72}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,54}$

Beurteile die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person in einer Großstadt wohnt und nicht jünger als $50$ Jahre ist, ist etwa halb so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person entweder in einer Großstadt wohnt oder nicht jünger als $50$ Jahre ist

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person in einer Großstadt wohnt und nicht jünger als $50$ Jahre ist $\Rightarrow P(G\cap \overline{J})=\mathrm{0,21}$

Eine zufällig ausgewählte Person wohnt entweder in einer Großstadt oder ist nicht jünger als $50$ Jahre, d.h. genau eines der beiden Ereignisse tritt ein.

$\Rightarrow P(G\cap J)\cup P(P(\overline{G}\cap \overline{J})=\mathrm{0,54}+\mathrm{0,07}=\mathrm{0,61}$

$\Rightarrow 2\cdot \mathrm{0,21}$ ist deutlich kleiner als $\mathrm{0,61}$.

Die Aussage ist falsch.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als drei Viertel dieser Personen in einer Großstadt wohnen

Bekannt: Es werden $160$ Personen zufällig ausgewählt$\Rightarrow n=160$. Der Anteil der Personen, die in einer Großstadt wohnen, beträgt $75\%$.

${\displaystyle \frac{3}{4}}$ von $160$ Personen sind $120$ Personen.

Berechne $P(X<120)=P(X\le 119)=F(160;\mathrm{0,75};119)\approx \mathrm{0,4576}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als drei Viertel dieser Personen in einer Großstadt wohnen, beträgt rund $\mathrm{0,46}$.

Untersuche, ob jede der drei Bedingungen erfüllt ist

Dichtefunktion allgemein: $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }}\cdot e^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}\right)}^2}$

In dieser Aufgabe: $\phi (x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2\pi }}}\cdot e^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{x-250}{2}}\right)}^2}$

𝑌: Tatsächliche Füllmenge des Glases in Gramm

Der Vergleich von $f(x)$ und $\phi (x)$ zeigt, dass gilt: $\mu =250$ und $\sigma =2$.

Bedingung I: Der Erwartungswert der tatsächlichen Füllmenge in Gramm liegt nicht unter der aufgedruckten Füllmenge.

Es gilt $\mu =250$. Damit ist Bedingung I erfüllt.

Bedingung II: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in

Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens eine Minusabweichung nach unten abweicht, beträgt höchstens $6\%$.

Es ist $\mu =250$ Gramm und die Minusabweichung beträgt $\mathrm{4,5}$ Gramm.

Gesucht ist $P(Y\le 250-\mathrm{4,5})=P(Y\le \mathrm{245,5})$.

Der TR liefert mit der Funktion Normal CD und den Eingaben

"untere Grenze $-100$", "obere Grenze $\mathrm{245,5}$", $\sigma =2$ und $\mu =250$

den Wert $\approx \mathrm{0,01222....}$

Damit ist wegen $𝑃(𝑌\le \mathrm{245,5})\approx \mathrm{0,012}<\mathrm{0,06}$ Bedingung II erfüllt.

Bedingung III: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens zwei Minusabweichungen nach unten abweicht, beträgt höchstens $\mathrm{0,2}\%$.

Gesucht ist $P(Y\le 250-2\cdot \mathrm{4,5})=P(Y\le 241)$

Der TR liefert mit der Funktion Normal CD und den Eingaben

"untere Grenze $-100$", "obere Grenze $241$" $\sigma =2$ und $\mu =250$

den Wert $\approx {\mathrm{3,39767...10}}^{-6}$

Wegen $𝑃(𝑌\le 241)\approx \mathrm{0,000003}<\mathrm{0,002}$ ist auch Bedingung III erfüllt.

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist: Wenn diese Produktion die Bedingung $\mathrm{II}$ erfüllt, dann erfüllt sie auch die Bedingung $\mathrm{III}$

$𝑍$: Tatsächliche Füllmenge des Glases in Gramm

$𝑍$ ist normalverteilt mit den Parametern $\mu =250$ und $\sigma$.

Bedingung II: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in

Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens eine Minusabweichung nach unten abweicht, beträgt höchstens $6\%$.

$\Rightarrow 𝑃(𝑍\le \mathrm{245,5})<\mathrm{0,06}$

Gesucht ist der Wert für $\sigma$.

Systematisches Probieren ergibt folgende Werte:

$\mu =250$ und $\sigma =\mathrm{2,5}\Rightarrow 𝑃(𝑍\le \mathrm{245,5})\approx \mathrm{0,036}$

$\mu =250$ und $\sigma =3\Rightarrow 𝑃(𝑍\le \mathrm{245,5})\approx \mathrm{0,0668}>\mathrm{0,06}$

$\Rightarrow \sigma <3$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine mit $\mu =250$ und $\sigma =3$ normalverteilte Zufallsgröße Werte im Intervall $]-\infty ;241]$ annimmt, beträgt etwa $\mathrm{0,00135}$.

(Berechnung der Wahrscheinlichkeit entsprechend Aufgabe d.)

Bedingung III: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die tatsächliche Füllmenge in Gramm von der aufgedruckten Füllmenge um mindestens zwei Minusabweichungen nach unten abweicht, beträgt höchstens $\mathrm{0,2}\%$.

$\Rightarrow 𝑃(𝑍<241)<\mathrm{0,00135}<\mathrm{0,002}$, also ist auch Bedingung III erfüllt.

Die Aussage ist wahr.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau 36 Radausflügler befinden

Es ist $n=300$ und $p=\mathrm{0,14}$.

Berechne $P(X=36)=B(300;\mathrm{0,14};36)\approx \mathrm{0,0420}$

oder $P(X=36)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{300}{36}\right)\cdot {\mathrm{0,14}}^{36}\cdot {\mathrm{0,86}}^{264}\approx \mathrm{0,0420}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau $36$ Radausflügler befinden, beträgt rund $4\%$.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10\%$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl

$\mu =n\cdot p=300\cdot \mathrm{0,14}=42$

$10\%$ von $42=\mathrm{4,2}\Rightarrow \mu +\mathrm{4,2}=\mathrm{46,2}$, runde nach oben$\Rightarrow 47$.

$\Rightarrow P(X\ge 47)=1-P(X\le 46)=1-F(300;\mathrm{0,14};46)\approx 1-\mathrm{0,7757}=\mathrm{0,2243}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10\%$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl, beträgt rund $22\%$.

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar

$A$: Die Fahrkarte wird spätestens am Vortag gebucht.

$B$: Die Fahrkarte wird benutzt.

Beurteile die folgende Aussage: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.

Gegeben:

Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte$\Rightarrow \overline{B}.$

Gesucht ist dann:

$P_{\overline{B}}(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap \overline{B})}{P(\overline{B})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,1}}{P(\overline{B})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{P(\overline{B})}}$ bzw. $P_{\overline{B}}(\overline{A})={\displaystyle \frac{P(\overline{A}\cap \overline{B})}{P(\overline{B})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,05}}{P(\overline{B})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{P(\overline{B})}}$

Die Aussage ist wahr, da $P_{\overline{B}}(A)=8\cdot P_{\overline{B}}(\overline{A})$.

Ermittle grafisch das zu dieser Anzahl gehörende Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $90\%$ und beurteile, ob die Vermutung des Tourismusverbandes mit dem Stichprobenergebnis verträglich ist

Es ist $h={\displaystyle \frac{153}{900}}=\mathrm{0,17}$.

Zeichne die Gerade $y=\mathrm{0,17}$ in die Abbildung 1 ein. Die Gerade schneidet die beiden Graphen $G_{g_1}$ und $G_{g_2}$in zwei Punkten. Die x-Koordinaten dieser beiden Schnittpunkte sind die Grenzen des Konfidenzintervalls.

Für das zur gegebenen Anzahl der Radausflügler in dieser Stichprobe gehörende Konfidenzintervall ergibt sich näherungsweise $[\mathrm{0,15};\mathrm{0,19}]$.

Es gilt: $\mathrm{0,2}\notin [\mathrm{0,15};\mathrm{0,19}]$, d. h. die Vermutung ist mit dem Stichprobenergebnis nicht verträglich.

Beurteile diese Aussage unter Verwendung der folgenden beiden Rechnungen

Gegeben sind:

$\mathrm{I}.\mathrm{0,17}=\mathrm{0,14}+\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,14}\cdot \mathrm{0,86}}{n}}}\Rightarrow n\approx \mathrm{359,8}$

$\mathrm{II}.\mathrm{0,17}=\mathrm{0,20}-\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,8}}{n}}}\Rightarrow n\approx \mathrm{478,2}$

Die Aussage ist richtig.

Gegeben ist $\mathrm{0,17}=\mathrm{0,14}+\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,14}\cdot \mathrm{0,86}}{n}}}$.

Daraus folgt: $\mathrm{0,14}=\mathrm{0,17}-\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,14}\cdot \mathrm{0,86}}{n}}}$ mit $n\approx \mathrm{359,8}$.

Für $n\approx \mathrm{359,8}$ ist die untere Grenze des Konfidenzintervalls $\mathrm{0,14}$.

Für $n\ge 360$ ist die untere Grenze des Konfidenzintervalls größer als $\mathrm{0,14}$, da von $\mathrm{0,17}$ eine kleinere Zahl abgezogen wird, d.h. für $n\ge 360$ liegt $p=\mathrm{0,14}$ nicht im Konfidenzintervall.

Gegeben ist $\mathrm{0,17}=\mathrm{0,20}-\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,8}}{n}}}$.

Daraus folgt: $\mathrm{0,20}=\mathrm{0,17}+\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,8}}{n}}}$ mit $n\approx \mathrm{478,2}$.

Für $n\approx \mathrm{478,2}$ ist die obere Grenze des Konfidenzintervalls $\mathrm{0,2}$.

Für $n\le 478$ ist die obere Grenze des Konfidenzintervalls größer als $\mathrm{0,2}$, da zu $\mathrm{0,17}$ eine größere Zahl addiert wird, d.h. für $n\le 478$ liegt $p=\mathrm{0,2}$ im Konfidenzintervall.

Somit ist für $360\le 𝑛\le 478$ die Annahme $𝑝=\mathrm{0,14}$ mit dem

Stichprobenergebnis nicht verträglich, die Annahme von $𝑝=\mathrm{0,20}$ hingegen schon.

Untersuche, ob $𝐴𝐵𝐶𝐷$ auch ein Quadrat ist

Wegen $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ sind nicht alle Seiten gleich lang und somit ist $𝐴𝐵𝐶𝐷$ kein Quadrat.

Berechne das Volumen der Pyramide $𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆$

$V_{\text{Pyramide}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot |\overrightarrow{OS}|={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 4\cdot 3\cdot 5=20$

Das Volumen der Pyramide $𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆$ beträgt $20\mathrm{VE}$.

Gib den Ortsvektor eines Punkts auf $𝑔$ an

Gegeben: ${𝐹}_{𝑘}(0|𝑘|30-3𝑘)$

Für $k=1$ erhältst Du $F_1(0|1|30-3)=F_1(0|1|27)$

Der Ortsvektor eines Punkts auf $𝑔$ ist z.B. der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 27\end{array}\right)$.

Zeige, dass $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ ein Richtungsvektor von $𝑔$ ist

Für $k=2$ erhältst Du $F_2(0|2|30-3\cdot 2)=F_2(0|2|24)$

$\overrightarrow{F_1{F}_2}=\overrightarrow{O{F}_2}-\overrightarrow{O{F}_1}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 24\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 27\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ ist ein Richtungsvektor von $g$.

Begründe, dass die $𝑥𝑧$-Ebene für keinen Wert von $𝑘$ eine Symmetrieebene des zusammengesetzten Körpers ist

Der Körper $𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆$ ist eine Pyramide mit der Höhe $5$.

Nur für $k=10$ ist $F_{10}(0|10|0)=E_{10}(0|10|0)$ und der Körper $𝐴𝐵𝐶𝐷{𝐸}_{10}{𝐹}_{10}$ ist eine Pyramide. Diese Pyramide besitzt die Höhe $10$.