Ergänze die Skalierung des Koordinatensystems in Abbildung 2

Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $𝐷(5|0|0)$ und $A$ hat für $a=-1$ die Koordinaten $A(4|1|-1)$. Das hilft, die Achsen zu skalieren.

Bestimme, welche Länge die Leine bei Befestigung in den Punkten $𝐴$ und $𝐷$ mindestens haben muss

Gegeben: $𝑎=-4$ gilt bei Niedrigwasser.

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -a\end{array}\right)$

$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-a{)}^2}=\sqrt{1+1+a^2}=\sqrt{2+a^2}=\sqrt{2+(-4{)}^2}=\sqrt{18}\approx \mathrm{4,24}$

Zum Festmachen muss bei jeder Leine eine zusätzliche Länge von $\mathrm{1,5}\text{ m}$ berücksichtigt werden$\Rightarrow$Mindestlänge in Metern etwa $\mathrm{5,74}$.

Bestimme eine Gleichung der Ebene $𝐸$ in Koordinatenform

Es muss gelten: $\overrightarrow{FG}\circ {\overrightarrow{n}}_E=0$ und $\overrightarrow{FH}\circ {\overrightarrow{n}}_E=0$.

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{FG}$ und $\overrightarrow{FH}$:

$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OF}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OF}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{1,5}\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -\mathrm{1,5}\\ -a\end{array}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{I}.\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right)=0$ und $\mathrm{II}.\left(\begin{array}{c}0\\ -\mathrm{1,5}\\ -a\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right)=0$

Aus $\mathrm{I}.$ folgt: $-n_x=0\Rightarrow n_x=0$.

Aus $\mathrm{II}.$ folgt: $-\mathrm{1,5}\cdot n_y-a\cdot n_z=0$.

Frei wählbar ist z.B. $n_z=\mathrm{1,5}$$\Rightarrow -\mathrm{1,5}\cdot n_y-a\cdot \mathrm{1,5}=0\Rightarrow -n_y-a=0\Rightarrow n_y=-a$

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_E=\left(\begin{array}{c}0\\ -a\\ \mathrm{1,5}\end{array}\right)$$\Rightarrow E:-ay+\mathrm{1,5}z=d$

Setze $𝐹(-2|0|0)$ in $E$ ein: $0+0=d\Rightarrow d=0$

Eine Gleichung der Ebene $𝐸$ in Koordinatenform lautet $E:-ay+\mathrm{1,5}z=0.✓$

Ermittle alle möglichen Winkelgrößen, unter denen die Gangway zwischen Hochwasser und Niedrigwasser auf das Bootsdeck auftrifft

Bekannt: An einem bestimmten Tag stellt $𝑎=-4$ die Situation bei Niedrigwasser und $𝑎=-\mathrm{0,5}$ bei Hochwasser dar. Die Ebene $𝐾$ hat die Koordinatengleichung $𝑧=𝑎$.

Ein Normalenvektor der Ebene $K$ ist ${\overrightarrow{n}}_K=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

$\cos \phi ={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{n_E}\circ \overrightarrow{n_K}|}{\left|\overrightarrow{n_E}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_K}\right|}}={\displaystyle \frac{|\left(\begin{array}{c}0\\ -a\\ \mathrm{1,5}\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)|}{\sqrt{0^2+(-a{)}^2+{\mathrm{1,5}}^2}\cdot 1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\sqrt{a^2+\mathrm{2,25}}}}$

Für $a=-\mathrm{0,5}\Rightarrow \cos \phi ={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\sqrt{(-\mathrm{0,5}{)}^2+\mathrm{2,25}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\sqrt{\mathrm{2,5}}}}$$\Rightarrow {\phi }_1={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\sqrt{\mathrm{2,5}}}}\right)\approx \mathrm{18,4}°$

Für $a=-4\Rightarrow \cos \phi ={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\sqrt{(-4{)}^2+\mathrm{2,25}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\sqrt{\mathrm{18,25}}}}\Rightarrow {\phi }_2={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\sqrt{\mathrm{18,25}}}}\right)\approx \mathrm{69,4}°$

Damit gilt für alle Winkelgrößen $\phi$ zwischen Hoch- und Niedrigwasser: ${\phi }_1\le \phi \le {\phi }_2$.

Erläutere die einzelnen Schritte mit Bezug zum Sachkontext

$\mathrm{I}.𝑆(𝑏|0|0)$ ist ein Punkt auf der Kante der Kaimauer.

$\mathrm{II}.$ Es wird die Länge des Streckenzuges von Punkt $A$ über Punkt $S$ zu Punkt $P$ in Abhängigkeit von $b$ berechnet.

$\mathrm{III}.$Die Länge des Streckenzuges in Abhängigkeit von $b$ wird als Funktion $f$ definiert.

Bestimme, wie lang die Leine mindestens sein muss

Zeichne den Graphen von $f$ und lass Dir das Minimum $(\mathrm{6,56}|\mathrm{5,69})$ anzeigen.

$f(b)$ hat für $b_1\approx \mathrm{6,56}$ ein Minimum, d.h. für $b_1$ ist der Streckenzug minimal und es ist $f(\mathrm{6,56})\approx \mathrm{5,69}$.

$\Rightarrow |\overrightarrow{AS}|+|\overrightarrow{SP}|\approx \mathrm{5,69}$ ist die minimale Streckenzuglänge.

Zum Festmachen muss bei jeder Leine eine zusätzliche Länge von $\mathrm{1,5}\text{ m}$ berücksichtigt werden$\Rightarrow$Mindestlänge in Metern etwa $\mathrm{5,7}+\mathrm{1,5}=\mathrm{7,2}$.