Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau 36 Radausflügler befinden

Es ist $n=300$ und $p=\mathrm{0,14}$.

Berechne $P(X=36)=B(300;\mathrm{0,14};36)\approx \mathrm{0,0420}$

oder $P(X=36)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{300}{36}\right)\cdot {\mathrm{0,14}}^{36}\cdot {\mathrm{0,86}}^{264}\approx \mathrm{0,0420}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau $36$ Radausflügler befinden, beträgt rund $4\%$.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10\%$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl

$\mu =n\cdot p=300\cdot \mathrm{0,14}=42$

$10\%$ von $42=\mathrm{4,2}\Rightarrow \mu +\mathrm{4,2}=\mathrm{46,2}$, runde nach oben$\Rightarrow 47$.

$\Rightarrow P(X\ge 47)=1-P(X\le 46)=1-F(300;\mathrm{0,14};46)\approx 1-\mathrm{0,7757}=\mathrm{0,2243}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10\%$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl, beträgt rund $22\%$.

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar

$A$: Die Fahrkarte wird spätestens am Vortag gebucht.

$B$: Die Fahrkarte wird benutzt.

Beurteile die folgende Aussage: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.

Gegeben:

Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte$\Rightarrow \overline{B}.$

Gesucht ist dann:

$P_{\overline{B}}(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap \overline{B})}{P(\overline{B})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,1}}{P(\overline{B})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{P(\overline{B})}}$ bzw. $P_{\overline{B}}(\overline{A})={\displaystyle \frac{P(\overline{A}\cap \overline{B})}{P(\overline{B})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,05}}{P(\overline{B})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{P(\overline{B})}}$

Die Aussage ist wahr, da $P_{\overline{B}}(A)=8\cdot P_{\overline{B}}(\overline{A})$.

Ermittle grafisch das zu dieser Anzahl gehörende Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $90\%$ und beurteile, ob die Vermutung des Tourismusverbandes mit dem Stichprobenergebnis verträglich ist

Es ist $h={\displaystyle \frac{153}{900}}=\mathrm{0,17}$.

Zeichne die Gerade $y=\mathrm{0,17}$ in die Abbildung 1 ein. Die Gerade schneidet die beiden Graphen $G_{g_1}$ und $G_{g_2}$in zwei Punkten. Die x-Koordinaten dieser beiden Schnittpunkte sind die Grenzen des Konfidenzintervalls.

Für das zur gegebenen Anzahl der Radausflügler in dieser Stichprobe gehörende Konfidenzintervall ergibt sich näherungsweise $[\mathrm{0,15};\mathrm{0,19}]$.

Es gilt: $\mathrm{0,2}\notin [\mathrm{0,15};\mathrm{0,19}]$, d. h. die Vermutung ist mit dem Stichprobenergebnis nicht verträglich.

Beurteile diese Aussage unter Verwendung der folgenden beiden Rechnungen

Gegeben sind:

$\mathrm{I}.\mathrm{0,17}=\mathrm{0,14}+\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,14}\cdot \mathrm{0,86}}{n}}}\Rightarrow n\approx \mathrm{359,8}$

$\mathrm{II}.\mathrm{0,17}=\mathrm{0,20}-\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,8}}{n}}}\Rightarrow n\approx \mathrm{478,2}$

Die Aussage ist richtig.

Gegeben ist $\mathrm{0,17}=\mathrm{0,14}+\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,14}\cdot \mathrm{0,86}}{n}}}$.

Daraus folgt: $\mathrm{0,14}=\mathrm{0,17}-\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,14}\cdot \mathrm{0,86}}{n}}}$ mit $n\approx \mathrm{359,8}$.

Für $n\approx \mathrm{359,8}$ ist die untere Grenze des Konfidenzintervalls $\mathrm{0,14}$.

Für $n\ge 360$ ist die untere Grenze des Konfidenzintervalls größer als $\mathrm{0,14}$, da von $\mathrm{0,17}$ eine kleinere Zahl abgezogen wird, d.h. für $n\ge 360$ liegt $p=\mathrm{0,14}$ nicht im Konfidenzintervall.

Gegeben ist $\mathrm{0,17}=\mathrm{0,20}-\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,8}}{n}}}$.

Daraus folgt: $\mathrm{0,20}=\mathrm{0,17}+\mathrm{1,64}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,8}}{n}}}$ mit $n\approx \mathrm{478,2}$.

Für $n\approx \mathrm{478,2}$ ist die obere Grenze des Konfidenzintervalls $\mathrm{0,2}$.

Für $n\le 478$ ist die obere Grenze des Konfidenzintervalls größer als $\mathrm{0,2}$, da zu $\mathrm{0,17}$ eine größere Zahl addiert wird, d.h. für $n\le 478$ liegt $p=\mathrm{0,2}$ im Konfidenzintervall.

Somit ist für $360\le 𝑛\le 478$ die Annahme $𝑝=\mathrm{0,14}$ mit dem

Stichprobenergebnis nicht verträglich, die Annahme von $𝑝=\mathrm{0,20}$ hingegen schon.