Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar

Bekannt: $\mathrm{𝟕𝟐}\%$ der Personen sind jünger als $50$ Jahre. $\mathrm{𝟏𝟖}\%$ der Personen sind jünger als $50$ Jahre und wohnen nicht in einer Großstadt.

Der Anteil der Personen, die in einer Großstadt wohnen, beträgt $\mathrm{𝟕𝟓}\%$.

𝐽: „Die Person ist jünger als 50 Jahre.“

𝐺: „Die Person wohnt in einer Großstadt.“

$P(G\cap J)=\mathrm{0,72}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,54}$

$P(G\cap \overline{J})=\mathrm{0,72}-\mathrm{0,54}=\mathrm{0,21}$

$P(\overline{G}=1-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,25}$

$P(\overline{G}\cap \overline{J})=\mathrm{0,25}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,07}$

$P(\overline{J}=1-\mathrm{0,72}=\mathrm{0,28}$

Beurteile die folgende Aussage: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person entweder in einer Großstadt wohnt oder nicht jünger als $50$ Jahre ist, ist kleiner als $60\%$

Gesucht: Entweder $G$ oder $\overline{J}$$\Rightarrow$Genau eines der beiden Ereignisse tritt ein.

Entnimm die Werte aus der Vierfeldertafel und berechne $(G\cap J)\cup (\overline{G}\cap \overline{J})$:

$(G\cap J)\cup (\overline{G}\cap \overline{J})=\mathrm{0,54}+\mathrm{0,07}=\mathrm{0,61}>\mathrm{0,6}\Rightarrow$die Aussage ist falsch.

Gib den Wert des Terms an

Gegeben: $${\displaystyle \sum _{k=40}^{110}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{160}{k}\right)\cdot {\mathrm{0,75}}^k\cdot {\mathrm{0,25}}^{160-k}\approx \mathrm{0,0438}}$$

Der Wert des Terms ist etwa $\mathrm{0,04}$.

Gib die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an

Es ist $n=160$, d.h. in einem Zufallsexperiment werden 160 Personen zufällig ausgewählt.

Berechnet wird $P(40\le X\le 110)$ mit $n=160$ und $p=\mathrm{0,75}$, d.h. es geht um Personen, die in einer Großstadt wohnen.

Mit dem Term kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass von

$160$ zufällig ausgewählten Personen mindestens $40$ und höchstens $110$ Personen in einer Großstadt wohnen.

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer der Produktion entnommenen Kiste höchstens sechs Gläser den Mangel aufweisen, etwa $\mathrm{0,77}$ beträgt

Gegeben: Jede Kiste enthält $50$ Gläser$\Rightarrow n=50$. Ein Glas weist mit einer Wahrscheinlichkeit von $10\%$ einen optischen Mangel auf$\Rightarrow p=\mathrm{0,1}$.

Gesucht: $P(X\le 6)=F(50;\mathrm{0,1};6)\approx \mathrm{0,77}✓$

Ermittle den geringsten Preis pro Glas mit veganem Brotaufstrich auf Cent genau, sodass die Naturkostkette im Mittel einen Gewinn von mindestens $\mathrm{0,50}€$ pro Glas erwarten kann

Es ist $x$ der Preis für $1$ Glas in $€$. Für die Naturkostkette belaufen sich die Gesamtkosten auf $\mathrm{2,00}€$ pro Glas.

$\Rightarrow$ Gewinn pro Glas $x-2$ in $€$.

Wenn höchstens sechs Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste der vollständige Preis bezahlt werden. Hier ist $p=\mathrm{0,77}\Rightarrow$Erwartungswert ist $(x-2)\cdot \mathrm{0,77}$

Wenn genau sieben oder genau acht Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste der halbe Preis bezahlt werden. Hier ist $p=\mathrm{0,17}\Rightarrow$Erwartungswert ist $(\mathrm{0,5}x-2)\cdot \mathrm{0,17}$

Wenn mehr als acht Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste nichts bezahlt werden. Hier ist $p=1-\mathrm{0,77}-\mathrm{0,17}=1-\mathrm{0,94}=\mathrm{0,06}\Rightarrow$Erwartungswert ist $(0\cdot x-2)\cdot \mathrm{0,06}=-\mathrm{0,12}$

Alle drei Erwartungswerte addiert sollen einen Gewinn von mindestens $\mathrm{0,50}€$ ergeben:

Löse $((x-2)\times \mathrm{0,77}+(\mathrm{0,5}x-2)\times \mathrm{0,17}-\mathrm{0,12}\ge 0.5)$:

Du erhältst die Lösung $x\ge {\displaystyle \frac{500}{171}}\approx \mathrm{2,93}$

Das ergibt also einen Preis von $\mathrm{2,93}€$ pro Glas.