Berechnen der Größe des Winkels β.

Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt: $180°$

$\beta =180°-24°-8°$

$\underline{\underline{\beta =148°}}$

Die Größe des Winkels β beträgt: $148°$.

Zeigen, dass Ben etwa $32\text{ m}$ vom Turm entfernt steht.

Die Höhe des Turms und der Abstand von Ben zum Turm sind Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks.

Im rechtwinkligem Dreieck gilt:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$

Für unser Dreieck ist dann:

Gegenkathete = $20$

Ankathete= $\text{x}$(wir bezeichnen die Entfernung Turm-Ben mit x)

Winkel bei Ben=$180°-148°=32°$(siehe Teilaufgabe a. )

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(32°)={\displaystyle \frac{20}{\mathrm{x}}}\Rightarrow \mathrm{x}={\displaystyle \frac{20}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(32°)}}$

$\mathrm{x}={\displaystyle \frac{20}{\mathrm{0,6249}}}$

$\underline{\underline{\mathrm{x}\approx 32\text{ m}}}$

Berechnen der ungefähren Breite des Nord-Ostsee-Kanals.

Sichtlinie von Ben zum Turm:

$\text{s}=\sqrt{{20}^2+{32}^2}$

$\text{s}=\sqrt{1424}$

$\text{s}\approx \mathrm{37,74}$

Anwenden des Sinussatzes.

Der Sinussatz im allgemeinen Dreieck lautet:

${\displaystyle \frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}}={\displaystyle \frac{b}{\sin \left(\beta \right)}}={\displaystyle \frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}}$

Für unser Dreieck gilt dann:

${\displaystyle \frac{\mathrm{37,74}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(8°)}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{B}}_{\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(24°)}}\Rightarrow {\mathrm{B}}_{\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{\mathrm{37,74}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(24°)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(8°)}}$

${\mathrm{B}}_{\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{\mathrm{15,35}}{\mathrm{0,1392}}}$

${\mathrm{B}}_{\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}\approx \mathrm{110,3}\text{ m}$

Die Breite des Nord-Ostsee-Kanal beträgt ungefähr $110\text{ m}$.