Heft 2 - B1

Berechnen der Größe des Winkels β.

Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt: $180°$

$\beta =180°-24°-8°$

$\underline{\underline{\beta =148°}}$

Die Größe des Winkels β beträgt: $148°$.

Zeigen, dass Ben etwa $32\text{ m}$ vom Turm entfernt steht.

Die Höhe des Turms und der Abstand von Ben zum Turm sind Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks.

Im rechtwinkligem Dreieck gilt:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$

Für unser Dreieck ist dann:

Gegenkathete = $20$

Ankathete= $\text{x}$(wir bezeichnen die Entfernung Turm-Ben mit x)

Winkel bei Ben=$180°-148°=32°$(siehe Teilaufgabe a. )

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(32°)={\displaystyle \frac{20}{\mathrm{x}}}\Rightarrow \mathrm{x}={\displaystyle \frac{20}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(32°)}}$

$\mathrm{x}={\displaystyle \frac{20}{\mathrm{0,6249}}}$

$\underline{\underline{\mathrm{x}\approx 32\text{ m}}}$

Berechnen der ungefähren Breite des Nord-Ostsee-Kanals.

Sichtlinie von Ben zum Turm:

$\text{s}=\sqrt{{20}^2+{32}^2}$

$\text{s}=\sqrt{1424}$

$\text{s}\approx \mathrm{37,74}$

Anwenden des Sinussatzes.

Der Sinussatz im allgemeinen Dreieck lautet:

${\displaystyle \frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}}={\displaystyle \frac{b}{\sin \left(\beta \right)}}={\displaystyle \frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}}$

Für unser Dreieck gilt dann:

${\displaystyle \frac{\mathrm{37,74}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(8°)}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{B}}_{\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(24°)}}\Rightarrow {\mathrm{B}}_{\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{\mathrm{37,74}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(24°)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(8°)}}$

${\mathrm{B}}_{\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{\mathrm{15,35}}{\mathrm{0,1392}}}$

${\mathrm{B}}_{\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}\approx \mathrm{110,3}\text{ m}$

Die Breite des Nord-Ostsee-Kanal beträgt ungefähr $110\text{ m}$.

Die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit lautet:

$\mathrm{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{t}}}$

Bekannte Größen:

$\mathrm{s}=100\text{ m}$

$\mathrm{t}=25\text{ s}$

Einsetzen in die Formel:

$\mathrm{v}={\displaystyle \frac{100}{25}}$

$\mathrm{v}=4{\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$

Umrechnen in ${\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}}$.

$\mathrm{v}=4\cdot \mathrm{3,6}=\mathrm{14,4}{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}}$

Die Geschwindigkeit des Schiffes beträgt, $\mathrm{14,4}{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}}$

Um den Winkel $\mathrm{\alpha }$ zu bestimmen, benötigt Jasper den Kosinussatz.

Angeben der Größe des Winkels α.

Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt für die $2$ Basiswinkel:

$2\alpha =180°-30°$

$\underline{2\alpha =150°}$

Der Winkel $\alpha$ ist dann:

$\alpha ={\displaystyle \frac{150°}{2}}$

$\underline{\underline{\alpha =75°}}$

Die Größe des Winkels α beträgt, $75°$.

Berechnen des Flächeninhalts des Segels.

Berechnen des Flächneinhalts des Segels mit der Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{a}\cdot \mathrm{b}\cdot \sin \mathrm{\alpha }$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel, da das Dreieck gleichschenklig ist gilt $\mathrm{a}=\mathrm{b}$.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{3,60}\cdot \mathrm{3,60}\cdot \sin 30°$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{12,96}\cdot \mathrm{0,5}$

$\underline{\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{3,24}{\text{ m}}^2}}$

Der Flächneinhalt des Segels beträgt: $\mathrm{3,24}{\text{ m}}^2$.

Erklärung, dass sich bei einer Verdopplung der Seitenlängen der Flächeninhalt des Dreiecks vervierfacht.

An der Skizze erkennt man, dass alle Seitenlängen verdoppelt wurden.

Durch die Verdopplung der Seitenlängen entstehen vier kongruente gleichschenklige Dreiecke, damit hat sich der Flächeninhalt vervierfacht.