Heft 2 - B3 - lernen mit Serlo!

Wahlteil zu B3

Johanna nähert Abschnitte der Kurve mit Geraden an.

Eine Gerade $h$ soll im Bereich um den Punkt (-2|0) den Graphen von $f$
möglichst gut annähern. Eine der folgenden Geradengleichungen erfüllt
diese Bedingung.
Kreuze an.
/ 1 P.
- $h_{1} (x) = - 2,2 x + 4,4$
- $h_{2} (x) = - 2,2 x - 4,4$
- $h_{3} (x) = 2,2 x - 4,4$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Bestimmen der Geradengleichung, die zu der Geraden h passt.
Die Skizze braucht nicht erstellt zu werden.
Die Steigung und der y-Achsenabschnitt der Geraden $h$ sind
negativ. Die Geradengleichung , die diese Bedingungen erfüllt,
ist die Geradengleichung $h_{2}$ .
Kreuze entsprechend an.
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Beachte die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Geraden h und vergleiche.
Johanna lässt sich mit der Software die Koordinaten zweier Punkte
$B$ (–0,5|–1,05) und $C$ (0,5|1,05) auf der Kurve anzeigen (siehe Abbildung).
Bestimme die Gleichung der Geraden $k$ , die durch die Punkte $B$ und $C$
verläuft.
/ 3 P.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Bestimmen der Gleichung der Geraden $k$ .
Die allgemeine Geradengleichung lautet:
$y = m \cdot x + t$
Einsetzen der Koordinaten der Punkt $B$ und $C$ in die allgemeine Geradengleichung.
$(I .) - 1,05 = m \cdot (- 0,5) + t \Rightarrow t = 0,5 m - 1,05$
$(I I .) 1,05 = m \cdot 0,5 + t \Rightarrow t = - 0,5 m + 1,05$
Berechnen der Steigung $𝐦$ .
$0,5 m - 1,05 = - 0,5 m + 1,05 | + 0,5 m$
$m - 1,05 = + 1,05 | + 1,05$
$m = 2,1$
Berechnen des y-Achsenabschnitts $𝐭$ :
$t = 0,5 \cdot 2,1 - 1,05$
$t = 1,05 - 1,05$
$t = 0$
Die Geradengleichung lautet also: $k (x) = 2,1 x$ .
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Setze die Koordinaten der Punkte $B$ und $C$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
Berechne $m$ und $t$ .
Johanna betrachtet den Verlauf des Graphen von $f$ . Sie überlegt, ob es
anstatt der Geraden auch eine Exponentialfunktion gibt, die durch die
Punkte $B$ (–0,5|–1,05) und $C$ (0,5|1,05) verläuft. Sie wählt dafür die
Funktion $e$ mit der Funktionsgleichung $e (x) = \frac{21}{40} \cdot 4^{x}$
Überprüfe jeweils, ob die Punkte B und C auf dem Graphen von $e$ liegen.
/ 2 P.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
Überprüfen, ob B und C auf dem Graphen von $e$ liegen.
Einsetzen von $x = - 0,5$ in die Exponentialgleichung.
$e (- 0,5) = \frac{21}{40} \cdot 4^{- 0,5}$
$e (- 0,5) = \frac{21}{40 \cdot 4^{0,5}}$
$e (- 0,5) = \frac{21}{40 \cdot \sqrt{4}}$
$e (- 0,5) = \frac{21}{80}$
$e (- 0,5) = 0,2625 \Rightarrow$ Der Punkt $B$ liegt nicht auf dem Graphen von $𝐞$ .
Einsetzen von $x = 0,5$ in die Exponentialgleichung.
$e (0,5) = \frac{21}{40} \cdot 4^{0,5}$
$e (0,5) = \frac{21 \cdot \sqrt{4}}{40}$
$e (0,5) = \frac{42}{40}$
$e (0,5) = 1,05 \Rightarrow$ Der Punkt $C$ liegt auf dem Graphen von $𝐞$ .
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Setze die x-Koordinaten der Punkte B und C in die Exponentialgleichung ein.
Vergleich die Ergebnisse mit den y-Koordinaten der Punkte B und C.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Bestimmen der Geradengleichung, die zu der Geraden h passt.

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Bestimmen der Gleichung der Geraden k.

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Überprüfen, ob B und C auf dem Graphen von e liegen.

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Bestimmen der Gleichung der Geraden $k$ .

Überprüfen, ob B und C auf dem Graphen von $e$ liegen.