Heft 2 - B3

Angeben der Anzahl der Nullstellen von $f$.

Der Funktionsgraph $f$ hat im abgebildeten Bereich $3$ Nullstellen.

Angeben des Scheitelpunkts einer geeigneten Parabel.

Ein möglicher Scheitelpunkt der Näherungsparabel ist z. B.:

$\mathrm{S}\left(1|\mathrm{1,5}\right)$

Wirkung des Parameters v bei Verkleinerung des Werts.

Wird für v ein kleinerer Wert auf dem Schieberegler eingestellt, so verschiebt sich die Parabel entlang der y-Achse nach unten.

Angeben eines Wertes für u.

Ein passender Wert, auf den Johanna den Schieberegler u einstellen kann, damit sich die Parabel $g$ im Bereich zwischen dem Koordinatenursprung und dem Punkt $A$, möglichst gut dem Graphen von $f$ annähert, ist $1$.

Zeigen, dass die Funktion $\text{i}$ diese Nullstellen auch hat.

$\mathrm{i}(\mathrm{x})=-\mathrm{1,5}{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}$

Einsetzen von ${\mathrm{x}}_1=0$und${\mathrm{x}}_2=2$ in die Funktionsgleichung $\mathrm{i}(\mathrm{x})$.

$\mathrm{i}(0)=-\mathrm{1,5}\cdot 0^2+3\cdot 0$

$\underline{\mathrm{i}(0)=0+0=0}$

$\mathrm{i}(2)=-\mathrm{1,5}\cdot 2^2+3\cdot 2$

$\underline{\mathrm{i}(2)=-6+6=0}$

Somit hat die Funktion $\text{i}$ bei ${\mathrm{x}}_1=0$ und ${\mathrm{x}}_2=2$ Nullstellen.

Begründung, warum es Johanna nicht gelingt, die Funktion $f$ im Bereich zwischen dem Punkt (-2|0) und dem Koordinatenursprung anzunähern.

Die allgemeine Scheitelform für die Parabel $\text{g}$ lautet:

$\mathrm{i}(\mathrm{x})=\mathrm{a}\cdot (\mathrm{x}-\mathrm{u}{)}^2+\mathrm{v}$

Damit die Funktion $\mathrm{i}(\mathrm{x})$ im Bereich zwischen dem Punkt $(-2|0)$ und dem Koordinatenursprung angenähert werden kann, muss der Öffnungsfaktor $\text{a}$ veränderbar sein.

Die Schieberegler $\text{u}$ und $\text{v}$ können den Öffnungsfaktor nicht verändern.

Bestimmen der Geradengleichung, die zu der Geraden h passt.

Die Steigung und der y-Achsenabschnitt der Geraden $\text{h}$ sind

negativ. Die Geradengleichung , die diese Bedingungen erfüllt,

ist die Geradengleichung ${\mathrm{h}}_2$.

Kreuze entsprechend an.

Bestimmen der Gleichung der Geraden $\text{k}$.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{t}$

Einsetzen der Koordinaten der Punkt $\text{B}$ und $\text{C}$ in die allgemeine Geradengleichung.

$(\mathrm{I}.)-\mathrm{1,05}=\mathrm{m}\cdot (-\mathrm{0,5})+\mathrm{t}\Rightarrow \mathrm{t}=\mathrm{0,5}\mathrm{m}-\mathrm{1,05}$

$(\mathrm{I}\mathrm{I}.)\mathrm{1,05}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{0,5}+\mathrm{t}\Rightarrow \mathrm{t}=-\mathrm{0,5}\mathrm{m}+\mathrm{1,05}$

Berechnen der Steigung $\text{𝐦}$.

$\mathrm{0,5}\mathrm{m}-\mathrm{1,05}=-\mathrm{0,5}\mathrm{m}+\mathrm{1,05}|+\mathrm{0,5}\mathrm{m}$

$\mathrm{m}-\mathrm{1,05}=+\mathrm{1,05}|+\mathrm{1,05}$

$\underline{\mathrm{m}=\mathrm{2,1}}$

Berechnen des y-Achsenabschnitts $\text{𝐭}$:

$\mathrm{t}=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{2,1}-\mathrm{1,05}$

$\mathrm{t}=\mathrm{1,05}-\mathrm{1,05}$

$\underline{\mathrm{t}=0}$

Die Geradengleichung lautet also: $\mathrm{k}(\mathrm{x})=\mathrm{2,1}\mathrm{x}$.

Überprüfen, ob B und C auf dem Graphen von $\text{e}$ liegen.

Einsetzen von $\mathrm{x}=-\mathrm{0,5}$ in die Exponentialgleichung.

$$\mathrm{e}(-\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{21}{40}\cdot 4^{-\mathrm{0,5}}}$$

$\mathrm{e}(-\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{21}{40\cdot 4^{\mathrm{0,5}}}}$

$\mathrm{e}(-\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{21}{40\cdot \sqrt{4}}}$

$\mathrm{e}(-\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{21}{80}}$

$\mathrm{e}(-\mathrm{0,5})=\mathrm{0,2625}\Rightarrow$Der Punkt $\text{B}$ liegt nicht auf dem Graphen von $\text{𝐞}$.

Einsetzen von $\mathrm{x}=\mathrm{0,5}$ in die Exponentialgleichung.

$$\mathrm{e}(\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{21}{40}\cdot 4^{\mathrm{0,5}}}$$

$\mathrm{e}(\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{21\cdot \sqrt{4}}{40}}$

$\mathrm{e}(\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{42}{40}}$

$\mathrm{e}(\mathrm{0,5})=\mathrm{1,05}\Rightarrow$Der Punkt $\text{C}$ liegt auf dem Graphen von $\text{𝐞}$.