Teil A: Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Pflichtaufgabe 2

Gegeben ist die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ mit $s \in ℝ$ .

Zeigen Sie, dass der Punkt $P (4 | 3 | 3)$ nicht auf $g$ liegt.
Geben Sie die Koordinaten eines Punktes $Q$ an, der auf $g$ liegt und sich nur in einer Koordinate von $P$ unterscheidet. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen
Zeige, dass der Punkt $P (4 | 3 | 3)$ nicht auf $g$ liegt
$(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
Aus Gleichung $(I)$ folgt: $s = 1$ .
Gleichung $(I I I) : 3 = - 3 + 1 \cdot 3 \Rightarrow 3 = 0$ ist eine falsche Aussage.
Der Punkt $P (4 | 3 | 3)$ liegt nicht auf $g$ .
Gib die Koordinaten eines Punktes $Q$ an, der auf $g$ liegt und sich nur in einer Koordinate von $P$ unterscheidet
Aus Gleichung $(I I I)$ folgt: $3 = - 3 + 3 s \Rightarrow s = 2$ .
Für $s = 1$ liegt der Punkt $Q_{1}$ auf der Geraden $g$ :
${\vec{Q}}_{1} = (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow Q_{1} (4 | 3 | 0)$
Für $s = 2$ liegt der Punkt $Q_{2}$ auf der Geraden $g$ :
${\vec{Q}}_{2} = (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array}) \Rightarrow Q_{2} (0 | 3 | 3)$
Entweder $Q_{1} (4 | 3 | 0)$ oder $Q_{2} (0 | 3 | 3)$ liegen auf $g$ und unterscheiden sich nur in einer Koordinate von $P$ .
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Teil 1
Setze die Koordinaten von $P$ in $g$ ein.
Teil 2
Schau nach der $x_{3}$ -Komponente von $P$ .
Die Gerade $h$ verläuft parallel zur y-Achse und schneidet $g$ im Punkt $(8 | 3 | - 3)$ .
Untersuchen Sie, ob $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Untersuche, ob $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen
Bekannt ist: Die Gerade $h$ verläuft parallel zur y-Achse $\Rightarrow \vec{u} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ ist Richtungsvektor von $h$ .
Der Richtungsvektor von $g$ ist $(\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ .
Stehen die beiden Geraden senkrecht aufeinander, muss das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren gleich null sein.
$(\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = 0 \Rightarrow g ⟂ h$ .
$g$ und $h$ verlaufen senkrecht zueinander.
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Stehen die beiden Geraden senkrecht aufeinander, muss das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren gleich null sein.

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Pflichtaufgabe 2

Zeige, dass der Punkt P(4|3|3) nicht auf g liegt

Gib die Koordinaten eines Punktes Q an, der auf g liegt und sich nur in einer Koordinate von P unterscheidet

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Untersuche, ob g und h senkrecht zueinander verlaufen

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Zeige, dass der Punkt $P (4 | 3 | 3)$ nicht auf $g$ liegt

Gib die Koordinaten eines Punktes $Q$ an, der auf $g$ liegt und sich nur in einer Koordinate von $P$ unterscheidet

Untersuche, ob $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen