Teil A: Pflichtteil

Bestimme rechnerisch eine Gleichung von $t$

Gegeben sind $f(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2-1$ und $P(4|1)$.

Ansatz für die Tangentengleichung:

$t:y=m\cdot x+b$

Dabei ist $m=f^{\prime }(4)$.

Berechne $f^{\prime }(4)$:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2-{\displaystyle \frac{6}{8}}x\Rightarrow f^{\prime }(4)={\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot 4^2-{\displaystyle \frac{6}{8}}\cdot 4=6-3=3\Rightarrow m=3$

Dann ist $t:y=3\cdot x+b$.

Setze $P(4|1)$ ein:

$1=3\cdot 4+b\Rightarrow b=1-12=-11$

Die Gleichung von $t$ ist $y=3\cdot x-11$

Es gibt genau eine weitere Tangente an $G$, die parallel zu $t$ verläuft.

Skizziere diese in der Abbildung

Zeige, dass der Punkt $P(4|3|3)$ nicht auf $g$ liegt

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$

Aus Gleichung $(\mathrm{I})$ folgt: $s=1$.

Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):3=-3+1\cdot 3\Rightarrow 3=0$ ist eine falsche Aussage.

Der Punkt $P(4|3|3)$ liegt nicht auf $g$.

Gib die Koordinaten eines Punktes $Q$ an, der auf $g$ liegt und sich nur in einer Koordinate von $P$ unterscheidet

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ folgt: $3=-3+3s\Rightarrow s=2$.

Für $s=1$ liegt der Punkt $Q_1$ auf der Geraden $g$:

${\overrightarrow{Q}}_1=\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ -3\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow Q_1(4|3|0)$

Für $s=2$ liegt der Punkt $Q_2$ auf der Geraden $g$:

${\overrightarrow{Q}}_2=\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ -3\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 3\end{array}\right)\Rightarrow Q_2(0|3|3)$

Entweder $Q_1(4|3|0)$ oder $Q_2(0|3|3)$ liegen auf $g$ und unterscheiden sich nur in einer Koordinate von $P$.

Untersuche, ob $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen

Bekannt ist: Die Gerade $h$ verläuft parallel zur y-Achse $\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ ist Richtungsvektor von $h$.

Der Richtungsvektor von $g$ ist $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$.

Stehen die beiden Geraden senkrecht aufeinander, muss das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren gleich null sein.

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0\Rightarrow g⟂h$.

$g$ und $h$ verlaufen senkrecht zueinander.

Interpretiere den Term ${\left({\displaystyle \frac{3}{8}}\right)}^2$ im Sachzusammenhang

Auf dem Glücksrad gibt es dreimal die $6$, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass eine $6$ kommt ist ${\displaystyle \frac{3}{8}}$. Die Potenz $2$ besagt, dass zweimal gedreht wird.

Der Term beschreibt also die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine $6$ zu erhalten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen ungerade ist

Folgende Ereignisse ergeben eine ungerade Zahl:

$\{5;6\},\{6;5\},\{6;7\},\{7;6\}$

$\Rightarrow P(\{5;6\},\{6;5\},\{6;7\},\{7;6\})={\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{8}}+{\displaystyle \frac{4}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{3+3+12+12}{64}}={\displaystyle \frac{30}{64}}$

oder berechne $P(\{6;\overline{6}\})+P(\{\overline{6};6\})={\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{8}}+{\displaystyle \frac{5}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{30}{64}}$.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen ungerade ist, beträgt ${\displaystyle \frac{30}{64}}$.