Bestimme die Werte der Parameter $a,b$ und $c$

Aus der Abbildung kannst Du folgende Werte ablesen:

$h(-1)=0,h(0)=-1,h(2)=0$

$h(-1)=0\Rightarrow 0=(a\cdot (-1{)}^2+b\cdot (-1)+c)\cdot e^{-1}\Rightarrow 0=(a-b+c)\cdot \underset{\ne 0}{\underbrace{e^{-1}}}$

$\Rightarrow (\mathrm{I})a-b+c=0$

$h(0)=-1\Rightarrow -1=(a\cdot 0^2+b\cdot 0+c)\cdot \underset{1}{\underbrace{e^0}}\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I})c=-1$

$h(2)=0\Rightarrow 0=(a\cdot 2^2+b\cdot 2+c)\cdot \underset{\ne 0}{\underbrace{e^2}}\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})0=4a+2b+c$

Du hast drei Gleichungen erhalten, die z. B. mit dem Additionsverfahren gelöst werden können.

Setze aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})c=-1$ in Gleichung $(\mathrm{I})$ und in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ ein:

$\Rightarrow ({\mathrm{I}}^{\ast })a-b-1=0\Rightarrow a-b=1$

$\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\ast })0=4a+2b-1\Rightarrow 4a+2b=1$

Rechne $(\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\ast })+2\cdot ({\mathrm{I}}^{\ast })$:

$6a=3\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Setze $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ in $({\mathrm{I}}^{\ast })$ ein $\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}-b=1\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Demnach ist $h(x)=({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-1)\cdot e^x$.

Deute $|H(2)-H(0)|\approx \mathrm{4,19}$ geometrisch in Bezug auf $G_h$

Es ist $|H(2)-H(0)|$ die Maßzahl der Fläche, die $G_h$ im IV. Quadranten mit den beiden Koordinatenachsen einschließt. Diese Maßzahl beträgt rund $\mathrm{4,19}\mathrm{FE}$.

Es ist $$A=\left|{\displaystyle {\int }_0^{2}h(x)\mathrm{d}x}\right|=|H(2)-H(0)|\approx \mathrm{4,19}$$.

Der Betrag ist erforderlich, da die berechnete Fläche unterhalb der x-Achse liegt.

Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.