Teil 2 Analysis I: mit Hilfsmitteln

Untersuche die Funktion $f$ auf Nullstellen

Löse die Gleichung $f(x)=0$:

$0={\displaystyle \frac{1}{14}}(x^3-12x^2+36x+49)\Rightarrow 0=x^3-12x^2+36x+49$

Finde eine Lösung durch Probieren.

Prüfe z. B. $x=-1\Rightarrow (-1{)}^3-12\cdot (-1{)}^2-36+49=-1-12-36+49=-49+49=0$

$x=-1$ ist eine Nullstelle.

Gibt es weitere Nullstellen?

Polynomdivision:

$\begin{array}{l}\phantom{-}(x^3-12x^2+36x+49):(x+1)=x^2-13x+49\\ -\underline{(x^3+x^2)}\\ \phantom{-(x^3-}-13x^2+36x\\ \phantom{(x^3+}-\underline{(-13x^2-13x)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-x++}49x+49\\ \phantom{(x3+3x^2-+++}-\underline{(49x+49)}\\ \phantom{-(+x^3+3x^2-4x-12+++}0\end{array}$

Löse nun die Gleichung $0=x^2-13x+49$. Überprüfe die Lösbarkeit dieser Gleichung mit der Diskriminante. $D=b^2-4ac\Rightarrow D=(-13{)}^2-4\cdot 1\cdot 49=169-196=-27<0$

Wegen $D<0$ gibt es keine weiteren Nullstellen, d. h. $x=-1$ ist die einzige Nullstelle von $f$.

Ermittle jeweils die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von $G_f$

Gegeben: $f(x)={\displaystyle \frac{1}{14}}(x^3-12x^2+36x+49)$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

Bilde die 1. Ableitung:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{14}}(3x^2-24x+36)$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0={\displaystyle \frac{1}{14}}(3x^2-24x+36)\Rightarrow 0=3x^2-24x+36$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst Du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel:

$x_1={\displaystyle \frac{24-12}{6}}=2$ und $x_2={\displaystyle \frac{24+12}{6}}=6$

Berechne die Funktionswerte an den Stellen $x_1$ und $x_2$:

$f(2)={\displaystyle \frac{1}{14}}(2^3-12\cdot 2^2+36\cdot 2+49)={\displaystyle \frac{1}{14}}(8-48+72+49)={\displaystyle \frac{81}{14}}$

$f(6)={\displaystyle \frac{1}{14}}(6^3-12\cdot 6^2+36\cdot 6+49)={\displaystyle \frac{1}{14}}(216-432+216+49)={\displaystyle \frac{7}{2}}=\mathrm{3,5}$

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$.

Bilde die 2. Ableitung:

$f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{14}}(6x-24)$

$f^{\prime \prime }(2)={\displaystyle \frac{1}{14}}(6\cdot 2-24)=-{\displaystyle \frac{12}{14}}<0\Rightarrow HP(2|\frac{81}{14})$

$f^{\prime \prime }(6)={\displaystyle \frac{1}{14}}(6\cdot 6-24)={\displaystyle \frac{12}{14}}>0\Rightarrow TP(6|\mathrm{3,5})$

Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen $G_f$ für $-1\le x\le 8$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Erstelle eine Wertetabelle.

Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.

Kennzeichne dieses Flächenstück in Deiner Zeichnung aus Teilaufgabe c)

Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts

$$A={\displaystyle {\int }_0^6{\displaystyle \frac{1}{14}}(x^3-12x^2+36x+49)\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{14}}\cdot {[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-12\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{3}}+36\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+49x]}_0^6=}$$

${\displaystyle \frac{1}{14}}\cdot (({\displaystyle \frac{6^4}{4}}-12\cdot {\displaystyle \frac{6^3}{3}}+36\cdot {\displaystyle \frac{6^2}{2}}+49\cdot 6)-{\displaystyle \frac{1}{14}}\cdot ({\displaystyle \frac{0^4}{4}}-12\cdot {\displaystyle \frac{0^3}{3}}+36\cdot {\displaystyle \frac{0^2}{2}}+49\cdot 0))=$

${\displaystyle \frac{1}{14}}\cdot (324-864+648+294)={\displaystyle \frac{1}{14}}\cdot 402\approx \mathrm{28,71}$

Die Maßzahl seines Flächeninhalts beträgt rund $\mathrm{28,71}\mathrm{FE}$.

Bestimme die Werte der Parameter $a,b$ und $c$

Aus der Abbildung kannst Du folgende Werte ablesen:

$h(-1)=0,h(0)=-1,h(2)=0$

$h(-1)=0\Rightarrow 0=(a\cdot (-1{)}^2+b\cdot (-1)+c)\cdot e^{-1}\Rightarrow 0=(a-b+c)\cdot \underset{\ne 0}{\underbrace{e^{-1}}}$

$\Rightarrow (\mathrm{I})a-b+c=0$

$h(0)=-1\Rightarrow -1=(a\cdot 0^2+b\cdot 0+c)\cdot \underset{1}{\underbrace{e^0}}\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I})c=-1$

$h(2)=0\Rightarrow 0=(a\cdot 2^2+b\cdot 2+c)\cdot \underset{\ne 0}{\underbrace{e^2}}\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})0=4a+2b+c$

Du hast drei Gleichungen erhalten, die z. B. mit dem Additionsverfahren gelöst werden können.

Setze aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})c=-1$ in Gleichung $(\mathrm{I})$ und in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ ein:

$\Rightarrow ({\mathrm{I}}^{\ast })a-b-1=0\Rightarrow a-b=1$

$\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\ast })0=4a+2b-1\Rightarrow 4a+2b=1$

Rechne $(\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\ast })+2\cdot ({\mathrm{I}}^{\ast })$:

$6a=3\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Setze $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ in $({\mathrm{I}}^{\ast })$ ein $\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}-b=1\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Demnach ist $h(x)=({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-1)\cdot e^x$.

Deute $|H(2)-H(0)|\approx \mathrm{4,19}$ geometrisch in Bezug auf $G_h$

Es ist $|H(2)-H(0)|$ die Maßzahl der Fläche, die $G_h$ im IV. Quadranten mit den beiden Koordinatenachsen einschließt. Diese Maßzahl beträgt rund $\mathrm{4,19}\mathrm{FE}$.

Es ist $$A=\left|{\displaystyle {\int }_0^{2}h(x)\mathrm{d}x}\right|=|H(2)-H(0)|\approx \mathrm{4,19}$$.

Der Betrag ist erforderlich, da die berechnete Fläche unterhalb der x-Achse liegt.

Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Gib die Anzahl der Bienen zu Beobachtungsbeginn an

Berechne $N(0)=\underset{=0}{\underbrace{2\cdot 0^2\cdot e^{-\mathrm{0,125}\cdot 0-\mathrm{0,2}}}}+5=5$

Da $N(t)$ die Anzahl der Bienen in Tausend angibt, gibt es zu Beobachtungsbeginn $5000$ Bienen.

Berechne, wie viele Bienen das Volk fünf Wochen nach Beobachtungsbeginn zählt

Berechne:$N(5)=2\cdot 5^2\cdot e^{-\mathrm{0,125}\cdot 5-\mathrm{0,2}}+5=50\cdot e^{-\mathrm{0,125}\cdot 5-\mathrm{0,2}}+5=50\cdot e^{-\mathrm{0,825}}+5\approx \mathrm{26,912}$

Das Volk zählt fünf Wochen nach Beobachtungsbeginn rund $26912$ Bienen.

Ermittle, nach wie vielen Wochen die Anzahl der Bienen im Beobachtungszeitraum das absolute Maximum erreicht hat

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $\dot{N}(t)=0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung $\dot{N}(t)=0$.

$\dot{N}(t)=2\cdot 2t\cdot e^{-\mathrm{0,125}t-\mathrm{0,2}}+2t^2\cdot e^{-\mathrm{0,125}t-\mathrm{0,2}}\cdot (-\mathrm{0,125})=e^{-\mathrm{0,125}t-\mathrm{0,2}}(4t-\mathrm{0,25}{t}^2)$

$\dot{N}(t)=0\Rightarrow 0=e^{-\mathrm{0,125}t-\mathrm{0,2}}(4t-\mathrm{0,25}{t}^2)$

Weil $e^{-\mathrm{0,125}t-\mathrm{0,2}}\ne 0$ für alle $x\in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$0=4t-\mathrm{0,25}{t}^2=t\cdot (4-\mathrm{0,25}t)\Rightarrow t_1=0$ und $t_2=16$

Da der Bestand von $t=0$ an zunächst zunimmt, kann bei $t=0$ nicht das Maximum liegen. Bei $t=16$ liegt ein relatives Maximum vor.

Weiterhin ist $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }N(t)=\underset{\to 0}{\underbrace{2t^2\cdot \underset{\to 0}{\underbrace{e^{-\mathrm{0,125}t-\mathrm{0,2}}}}}}+5=5}$$

(Die Exponentialfunktion strebt viel schneller gegen null, als die Potenzfunktion gegen unendlich wächst.)

Demnach handelt es sich bei $x=16$ um das absolute Maximum von $N$.

Berechne den Funktionswert an der Stelle $t=16$.

$N(16)=2\cdot {16}^2\cdot e^{-\mathrm{0,125}\cdot 16-\mathrm{0,2}}+5=512\cdot e^{-\mathrm{2,2}}+5\approx \mathrm{61,731}$

Berechne diese maximale Bienenanzahl

Die maximale Bienenanzahl im Volk beträgt nach $16$ Wochen rund $61731$ Bienen.

Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $N$ im angegebenen Definitionsbereich in ein Koordinatensystem

Erstelle eine Wertetabelle:

Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.

Bestimme mithilfe des Graphen nachvollziehbar den Monat, in welchem die Anzahl der Bienen im Volk erstmals $50000$ beträgt

Zeichne eine Gerade $y=50$ in die Abbildung ein und lies die $t$-Koordinate des ersten Schnittpunktes der Geraden mit $G_N$ ab.

Abgelesen: $t\approx \mathrm{9,5}$ (Nur der erste Schnittpunkt ist gesucht.)

Nach rund 9,5 Wochen erreicht die Anzahl der Bienen im Volk erstmals $50000$.

Da die Zeitrechnung mit Beginn des Monats März anfängt, erreicht die Anzahl der Bienen im Volk erstmals $50000$ im Monat Mai.

Interpretiere die beiden Werte im Sachzusammenhang

An der Stelle $t_W\approx \mathrm{4,7}$ ändert der Graph der Funktion $N$ sein Krümmungsverhalten$\Rightarrow$ bei $t_W$ liegt eine Wendestelle vor. Hier ist die Wachstumsgeschwindigkeit der Bienenanzahl am größten.

Es ist $\dot{N}(t_W)\approx \mathrm{6,04}\Rightarrow$ die maximale Wachstumsgeschwindigkeit entspricht etwa $6040$ Bienen pro Woche.