Teil 2 Analysis I: mit Hilfsmitteln

Die Population eines bestimmten Bienenvolkes von Beginn des Monats März bis Ende Oktober kann näherungsweise durch die Funktion $N$ mit der Funktionsgleichung $N (t) = 2 t^{2} \cdot e^{- 0,125 t - 0,2} + 5$ mit $t \in [0; 35]$ modelliert werden. Ab Ende Oktober verändert sich die Anzahl der Bienen in diesem Volk nach anderen Gesetzmäßigkeiten und soll im Folgenden nicht weiter betrachtet werden. Die Variable $t$ im Funktionsterm steht für die seit Beobachtungsbeginn Anfang März ( $t_{0} = 0$ ) vergangene Zeit in Wochen. Der Funktionswert $N$ gibt die Anzahl der Bienen in Tausend zum Zeitpunkt $t$ an. Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

Geben Sie die Anzahl der Bienen zu Beobachtungsbeginn an und berechnen Sie, wie viele Bienen das Volk fünf Wochen nach Beobachtungsbeginn zählt. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Gib die Anzahl der Bienen zu Beobachtungsbeginn an
Berechne $N (0) = \underset{= 0}{\underset{⏟}{2 \cdot 0^{2} \cdot e^{- 0,125 \cdot 0 - 0,2}}} + 5 = 5$
Da $N (t)$ die Anzahl der Bienen in Tausend angibt, gibt es zu Beobachtungsbeginn $5000$ Bienen.
Berechne, wie viele Bienen das Volk fünf Wochen nach Beobachtungsbeginn zählt
Berechne: $N (5) = 2 \cdot 5^{2} \cdot e^{- 0,125 \cdot 5 - 0,2} + 5 = 50 \cdot e^{- 0,125 \cdot 5 - 0,2} + 5 = 50 \cdot e^{- 0,825} + 5 \approx 26,912$
Das Volk zählt fünf Wochen nach Beobachtungsbeginn rund $26912$ Bienen.
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Berechne $N (0)$ .
Berechne $N (5)$ .
Beachte, dass $N (t)$ die Anzahl der Bienen in Tausend angibt.
Ermitteln Sie, nach wie vielen Wochen die Anzahl der Bienen im Beobachtungszeitraum das absolute Maximum erreicht hat und berechnen Sie diese maximale Bienenanzahl.
[Mögliches Teilergebnis: $\dot{N} (t) = e^{- 0,125 t - 0,2} \cdot (- 0,25 t^{2} + 4 t)$ ] [8 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Ermittle, nach wie vielen Wochen die Anzahl der Bienen im Beobachtungszeitraum das absolute Maximum erreicht hat
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $\dot{N} (t) = 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung $\dot{N} (t) = 0$ .
$\dot{N} (t) = 2 \cdot 2 t \cdot e^{- 0,125 t - 0,2} + 2 t^{2} \cdot e^{- 0,125 t - 0,2} \cdot (- 0,125) = e^{- 0,125 t - 0,2} (4 t - 0,25 t^{2})$
$\dot{N} (t) = 0 \Rightarrow 0 = e^{- 0,125 t - 0,2} (4 t - 0,25 t^{2})$
Weil $e^{- 0,125 t - 0,2} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$0 = 4 t - 0,25 t^{2} = t \cdot (4 - 0,25 t) \Rightarrow t_{1} = 0$ und $t_{2} = 16$
Da der Bestand von $t = 0$ an zunächst zunimmt, kann bei $t = 0$ nicht das Maximum liegen. Bei $t = 16$ liegt ein relatives Maximum vor.
Weiterhin ist $\lim_{x \to \infty} N (t) = \underset{\to 0}{\underset{⏟}{2 t^{2} \cdot \underset{\to 0}{\underset{⏟}{e^{- 0,125 t - 0,2}}}}} + 5 = 5$
(Die Exponentialfunktion strebt viel schneller gegen null, als die Potenzfunktion gegen unendlich wächst.)
Demnach handelt es sich bei $x = 16$ um das absolute Maximum von $N$ .
Berechne den Funktionswert an der Stelle $t = 16$ .
$N (16) = 2 \cdot 16^{2} \cdot e^{- 0,125 \cdot 16 - 0,2} + 5 = 512 \cdot e^{- 2,2} + 5 \approx 61,731$
Berechne diese maximale Bienenanzahl
Die maximale Bienenanzahl im Volk beträgt nach $16$ Wochen rund $61731$ Bienen.
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Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $\dot{N} (t) = 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung $\dot{N} (t) = 0$ $\Rightarrow t_{1}$ und $t_{2}$
Begründe, warum nur $t_{2}$ eine Extremstelle ist.
Berechne den Funktionswert an der Stelle $t_{2}$ .
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $N$ im angegebenen Definitionsbereich in ein Koordinatensystem. Bestimmen Sie anschließend mithilfe des Graphen nachvollziehbar den Monat, in welchem die Anzahl der Bienen im Volk erstmals $50000$ beträgt.
Maßstab: $4$ Wochen $= 1 cm$ ; $10000$ Bienen = $1 cm$ . [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $N$ im angegebenen Definitionsbereich in ein Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle:
$t$
0
4
8
12
16
20
24
28
32
35
$N (t)$
5
20,89
43,55
57,61
61,73
58,76
51,96
43,77
35,71
30,25
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Bestimme mithilfe des Graphen nachvollziehbar den Monat, in welchem die Anzahl der Bienen im Volk erstmals $50000$ beträgt
Zeichne eine Gerade $y = 50$ in die Abbildung ein und lies die $t$ -Koordinate des ersten Schnittpunktes der Geraden mit $G_{N}$ ab.
Abgelesen: $t \approx 9,5$ (Nur der erste Schnittpunkt ist gesucht.)
Nach rund 9,5 Wochen erreicht die Anzahl der Bienen im Volk erstmals $50000$ .
Da die Zeitrechnung mit Beginn des Monats März anfängt, erreicht die Anzahl der Bienen im Volk erstmals $50000$ im Monat Mai.
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Teil 1
Erstelle eine Wertetabelle.
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Teil 2
Zeichne eine Gerade $y = 50$ in die Abbildung ein und lies die $t$ -Koordinate des ersten Schnittpunktes der Geraden mit $G_{N}$ ab.
An der Stelle $t_{W} \approx 4,7$ ändert der Graph der Funktion $N$ sein Krümmungsverhalten von einer Links- in eine Rechtskrümmung. Weiterhin gilt $\dot{N} (t_{W}) \approx 6,04$ .
Interpretieren Sie die beiden Werte im Sachzusammenhang. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen
Interpretiere die beiden Werte im Sachzusammenhang
An der Stelle $t_{W} \approx 4,7$ ändert der Graph der Funktion $N$ sein Krümmungsverhalten $\Rightarrow$ bei $t_{W}$ liegt eine Wendestelle vor. Hier ist die Wachstumsgeschwindigkeit der Bienenanzahl am größten.
Es ist $\dot{N} (t_{W}) \approx 6,04 \Rightarrow$ die maximale Wachstumsgeschwindigkeit entspricht etwa $6040$ Bienen pro Woche.
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Welche Stelle liegt vor, wenn der Graph sein Krümmungsverhalten ändert?
Was ändert sich an dieser Stelle am stärksten?

$t$	0	4	8	12	16	20	24	28	32	35
$N (t)$	5	20,89	43,55	57,61	61,73	58,76	51,96	43,77	35,71	30,25

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Gib die Anzahl der Bienen zu Beobachtungsbeginn an

Berechne, wie viele Bienen das Volk fünf Wochen nach Beobachtungsbeginn zählt

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Ermittle, nach wie vielen Wochen die Anzahl der Bienen im Beobachtungszeitraum das absolute Maximum erreicht hat

Berechne diese maximale Bienenanzahl

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Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion N im angegebenen Definitionsbereich in ein Koordinatensystem

Bestimme mithilfe des Graphen nachvollziehbar den Monat, in welchem die Anzahl der Bienen im Volk erstmals 50000 beträgt

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Interpretiere die beiden Werte im Sachzusammenhang

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Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $N$ im angegebenen Definitionsbereich in ein Koordinatensystem

Bestimme mithilfe des Graphen nachvollziehbar den Monat, in welchem die Anzahl der Bienen im Volk erstmals $50000$ beträgt