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Wahlpflichtaufgabe W1

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $f$ mit $f (x) = 2 e^{x} - 2 e$ .

Abbildung 1

Weisen Sie nach, dass $1$ eine Nullstelle von $f$ ist. [1 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Weise nach, dass $1$ eine Nullstelle von $g$ ist
Setze $1$ in $f (x) = 2 e^{x} - 2 e$ ein: $2 e^{1} - 2 e = 0 ✓$
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Setze $1$ in $f$ ein.
Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechnen Sie ihren Inhalt. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne ihren Inhalt
Gegeben: $f (x) = 2 e^{x} - 2 e$ und $1$ ist eine Nullstelle von $f$ .
$\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = {[2 e^{x} - 2 e x]}_{0}^{1} = (2 e - 2 e) - (2 - 0) = - 2$ .
Die berechnete Fläche liegt unterhalb der x-Achse, d.h. vom berechneten Integral muss der Betrag genommen werden. Der Inhalt der Fläche beträgt $2 F E$ .
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Gegeben: $g (x) = 2 e^{x} - 2 e$ und $1$ ist eine Nullstelle von $g$ .
Berechne $\int_{0}^{1} g (x) d x$ . Beachte, dass der Flächeninhalt positiv ist.

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