Begründe, dass die Punkte $P$ und $Q$ auf derselben Seite bezüglich der $x_1{x}_2$-Ebene liegen

Betrachte die $x_3$-Koordinaten der beiden Punkte. Beide Punkte haben bei den $x_3$-Koordinaten das gleiche Vorzeichen, d. h., die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf derselben Seite bezüglich der $x_1{x}_2$-Ebene.

Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks

$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Die Mitte $M$ der Basis hat die Koordinaten $M(2|1|-2)$.

Dann gilt für den Vektor $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$\left|\overrightarrow{MP}\right|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}$

$A_{OQP}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \left|\overrightarrow{OQ}\right|\cdot \left|\overrightarrow{MP}\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 6\cdot \sqrt{2}=3\cdot \sqrt{2}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ beträgt $3\cdot \sqrt{2}\mathrm{FE}$.