Zeige, dass $G$ monoton steigend ist

Gegeben: $f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{4}}$

Dann ist $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2\ge 0$ für alle $x\in ℝ$$\Rightarrow$$G$ ist monoton steigend.

Beschreibe, wie G aus dem Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $u:x\to x^3$ erzeugt werden kann

$G$ kann aus dem Graphen von $u$ durch eine Streckung mit dem Faktor ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ in y-Richtung und eine anschließende Verschiebung um ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ in positive y-Richtung erzeugt werden.

Bestimme eine Gleichung dieser Tangente

Bekannt: Die Tangente an $G$ im Punkt $(3|f(3))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0|-\frac{53}{4})$.

Der y-Achsenabschnitt der Tangente ist $-{\displaystyle \frac{53}{4}}$.

$y_T=f^{\prime }(3)\cdot x-{\displaystyle \frac{53}{4}}$

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2\Rightarrow f^{\prime }(3)={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 3^2={\displaystyle \frac{27}{4}}$

Dann folgt: $y_T={\displaystyle \frac{27}{4}}\cdot x-{\displaystyle \frac{53}{4}}$

Bestimme die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die x-Achse schneidet

Es ist $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{27}{4}}\Rightarrow \alpha ={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{27}{4}}\right)\approx \mathrm{81,6}°$.

Die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die x-Achse schneidet, beträgt rund $\mathrm{81,6}°$.

Ermitteln Sie einen Term derjenigen Stammfunktion von $f$, deren Graph durch den Punkt $(4|16)$ verläuft

Es ist $F(x)={\displaystyle \frac{1}{16}}{x}^4+{\displaystyle \frac{1}{4}}x+C$

Setze $(4|16)$ in $F$ ein:

$16={\displaystyle \frac{1}{16}}\cdot 4^4+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 4+C=16+1+C\Rightarrow C=-1$

Der Term derjenigen Stammfunktion von $f$, deren Graph durch den Punkt $(4|16)$ verläuft, lautet $F(x)={\displaystyle \frac{1}{16}}{x}^4+{\displaystyle \frac{1}{4}}x-1$.

Begründe ohne Verwendung von Stammfunktionen, dass $${\displaystyle {\int }_{-k}^{k}f(x)\mathrm{d}x=2k\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}}$$ gilt

Gegeben: $${\displaystyle {\int }_{-k}^{k}f(x)\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_{-k}^k\left({\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3\right)\mathrm{d}x+{\displaystyle {\int }_{-k}^k{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{d}x}}}$$

1. Integral auf der linken Seite: Der Graph von $x\to {\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung$$\Rightarrow {\displaystyle {\int }_{-k}^k\left({\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3\right)\mathrm{d}x=0}$$.

2. Integral auf der linken Seite: Der Wert des Integrals $${\displaystyle {\int }_{-k}^k{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{d}x}$$ kann als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $2k$ und ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ interpretiert werden.

Also gilt: $${\displaystyle {\int }_{-k}^{k}f(x)\mathrm{d}x=0+2k\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}=2k\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}}$$

Bestimme rechnerisch die y-Koordinate des Mittelpunktes dieses Kreises

Gegeben: Graph von $f^{\prime }$ und $A\left(1|\frac{3}{4}\right)$.

Die Normale im Punkt $A\left(1|\frac{3}{4}\right)$ schneidet die y-Achse im Mittelpunkt des Kreises.

Bestimme die Gleichung dieser Normalen im Punkt $A\left(1|\frac{3}{4}\right)$:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot x\Rightarrow f^{\prime \prime }(1)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 1={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow m_N=-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Dann gilt: $y_N=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+b$. Setze $A\left(1|\frac{3}{4}\right)$ ein$\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{4}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 1+b\Rightarrow b={\displaystyle \frac{17}{12}}$.

Die y-Koordinate des Mittelpunktes dieses Kreises ist ${\displaystyle \frac{17}{12}}$.