Aufgaben zu linearen Funktionen

Berechnen Sie den Abstand der parallelen Geraden g: $y=-\frac12x+2$ und h: $y=-\frac12x-3$ .

Rundet das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Geraden

Der kürzeste Weg zwischen zwei parallelen Geraden ist eine Normale der Geraden .

Der Abstand der Geraden entspricht dem Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten der Normale mit den Geraden .

Fertige eine Skizze an.

Berechne dazu zunächst die Steigung.

$\displaystyle m_d\cdot m_g$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :m_g$
$\displaystyle m_d$	$=$	$\displaystyle \frac{-1}{m_g}$
	↓	Setze die Steigung der Funktion $m_{g}$ (nämlich $-\frac{1}{2}$ ) ein.
$\displaystyle m_d$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1}{-\frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache die rechte Seite.
$\displaystyle m_d$	$=$	$\displaystyle -2$

Stelle nun die Geradengleichung auf.

Es wird ein Punkt T, der auf der Geraden liegt benötigt. Verwendet wird der y-Abschnitt von $h\left(x\right)$ : $\left(0\vert-3\right)$ .

Setze $T\left(0\vert -3\right)$ (siehe Skizze) und $m_{d}$ in die allgemeine Geradengleichung ein um t zu bestimmen.

$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(0\right)+t$
	↓	Multipliziere aus .
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -3$
	↓	Setze t und $m_{d}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2x-3$

Berechne zunächst die x-Koordinate des Schnittpunkts S.

Normale d: $y = 2 x - 3$

Gerade g: $y=-\frac12x+2$

Setze die Funktionen gleich.

Berechne nun die y-Koordinate des Schnittpunkts S.

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes S an.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ $S\left(2\vert1\right)$

Bestimme den Abstand in x-Richtung.

$T\left(0\vert-3\right)$ , $S\left(2\vert1\right)$

Berechne die Differenz der x-Werte von S und T.

$\operatorname{\Delta}x=2-0=2$

Bestimme den Abstand in y-Richtung.

$T\left(0\vert-3\right)$ , $S\left(2\vert1\right)$

Berechne die Differenz der y-Werte.

$\operatorname{\Delta}y=1-(-3)=4$

Bestimme den Abstand in direkter Linie zwischen den Punkten.

$\operatorname{\Delta}x=2$

$\operatorname{\Delta}y=4$

$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle 2^2+4^2$
	↓	Berechne die beiden Potenzen.
$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle 4+16$
	↓	Addiere.
$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle 20$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{20}$

Wenn du $\sqrt{20}$ in den Taschenrechner eingibst und das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma rundest, erhältst du:

$d=\sqrt{20}\approx4{,}47$

Der Abstand der beiden Geraden beträgt etwa 4,47.

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