$\begin{array}{ccccc}3x& +& 4y& =& -1\\ 2x& +& 5y& =& -3\end{array}$

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

$\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -1\\ 2& 5& -3\end{array}\right)$

Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 2.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}:3,\mathrm{I}\mathrm{I}:2}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{4}{3}& -\frac{1}{3}\\ 1& \frac{5}{2}& -\frac{3}{2}\end{array}\right)$

Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I}}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{4}{3}& -\frac{1}{3}\\ 0& \frac{7}{6}& -\frac{7}{6}\end{array}\right)$

Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac{7}{6}$.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}:\frac{7}{6}}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{4}{3}& -\frac{1}{3}\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$

Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $\frac{4}{3}$-fache der zweiten Zeile.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}-\frac{4}{3}\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$

Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:

$\begin{array}{ccrcc}3x& -& 4y& =& -26\\ 2x& +& 3y& =& 28\end{array}$

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

$\left(\begin{array}{ccc}3& -4& -26\\ 2& 3& 28\end{array}\right)$

Dann dividiert man die erste Zeile durch 3 und die zweite durch 2.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}:3,\mathrm{I}\mathrm{I}:2}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -\frac{4}{3}& -\frac{26}{3}\\ 1& \frac{3}{2}& 14\end{array}\right)$

Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I}}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -\frac{4}{3}& -\frac{26}{3}\\ 0& \frac{17}{6}& \frac{68}{3}\end{array}\right)$

Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac{17}{6}$.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}:\frac{17}{6}}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -\frac{4}{3}& -\frac{26}{3}\\ 0& 1& 8\end{array}\right)$

Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $-\frac{4}{3}$-fache der zweiten Zeile.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}-(-\frac{4}{3})\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 8\end{array}\right)$

Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen: