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Aufgaben zum Gaußverfahren

Mit diesen Aufgaben lernst du, wie man das Gauß'sche Eliminationsverfahren anwendet. Schaffst du sie alle?

  1. 1

    Bringe das System so in Form, dass das Gauß-Verfahren angewendet werden kann. Du musst das System in dieser Aufgabe noch nicht lâsen!

    1. I)2x=y+zII)4(xβˆ’2z)=yIII)zβˆ’xβˆ’y=10\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} I) &2x=y+z\\ II)& 4(x-2z)=y\\ III)& z-x-y=10 \end{array}

    2. I)4(a+b)=cII)8a+b+10βˆ’4c=0III)cβˆ’b=10+a\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} I) &4(a+b)=c\\ II)& 8a+b+10-4c=0\\ III)& c-b=10+a \end{array}

  2. 2

    Entscheide jeweils, welche Umformung angewendet wurde um von der linken Matrix zur rechten zu kommen.

    1. (221141301122)β‡’(22110βˆ’31βˆ’21122)\def\arraystretch{1.25} \left( \begin{array}{ccc|c} 2&2&1&1\\ 4&1&3&0\\ 1&1&2&2 \end{array}\right) \Rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 2&2&1&1\\ 0&-3&1&-2\\ 1&1&2&2 \end{array}\right)

  3. 3

    Finden Sie die LΓΆsungen mithilfe der fertig umgeformten Matrix.

    1. (4βˆ’2224βˆ’31015500βˆ’15)\def\arraystretch{1.25} \left (\begin{array}{ccc|r} 4&-2&2&24\\ -3&1&0&15\\ 5&0&0&-15 \end{array}\right )

      (Die erste Spalte gehΓΆrt zur Unbekannten a, die zweite zu b, die dritte zu c)

    2. (100022010016βˆ’553βˆ’10)\def\arraystretch{1.25} \left (\begin{array}{ccc|r} 10&0&0&2\\ 20&10&0&16\\ -5&5&3&-10 \end{array}\right )

      (Die erste Spalte gehΓΆrt zur Unbekannten a, die zweite zu b, die dritte zu c)

  4. 4

    Lâse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.

    1. 3x+4y=βˆ’12x+5y=βˆ’3\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}3x&+&4y&=&-1\\2x&+&5y&=&-3\end{array}

    2. 3xβˆ’4y=βˆ’262x+3y=28\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccrcc}3x&-&4y&=&-26\\2x&+&3y&=&28\end{array}

    3. β€…β€Šβ€…β€Šx+2yβˆ’z=2x+y+2z=92x+3yβˆ’3z=βˆ’1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&+&2y&-&z&=&2\\x&+&y&+&2z&=&9\\2x&+&3y&-&3z&=&-1\end{array}

  5. 5

    Lâse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren, und gib die Lâsung in allgemeiner Form an. (Verwende dabei, falls erforderlich, Parameter in der Lâsung).

    1. x+2yβ€…β€Šβ€…β€Š=0β€…β€Šx+y+z=02x+3y+β€…β€Šz=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}x&+&2y&\;&\;&=&0\\\;x&+&y&+&z&=&0\\2x&+&3y&+&\;z&=&0\end{array}

    2. β€…β€Šβ€…β€Šxβˆ’2y+3z=0βˆ’x+2yβˆ’3z=02xβˆ’4y+6z=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcc}\;\;x&-&2y&+&3z&=&0\\-x&+&2y&-&3z&=&0\\2x&-&4y&+&6z&=&0\end{array}

    3. 2xβˆ’y+3z=1β€…β€Šx+3yβˆ’2z=13xβˆ’2y+5z=1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcc}2x&-&y&+&3z&=&1\\\;x&+&3y&-&2z&=&1\\3x&-&2y&+&5z&=&1\end{array}

    4. xβˆ’2y+z=βˆ’1βˆ’2x+y+2z=βˆ’53xβˆ’y+2z=3xβˆ’3y+8z=βˆ’9\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}x&-&2y&+&z&=&-1\\-2x&+&y&+&2z&=&-5\\3x&-&y&+&2z&=&3\\x&-&3y&+&8z&=&-9\end{array}

    5. xβˆ’3y+z=4βˆ’2x+4yβˆ’3z=βˆ’9\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}x&-&3y&+&z&=&4\\-2x&+&4y&-&3z&=&-9\end{array}

  6. 6

    Lâse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren.

    1. ο»Ώ3x+2y=βˆ’14x+y=βˆ’26x+4y=3\def\arraystretch{1.25} ο»Ώ\begin{array}{ccrcr}3x&+&2y&=&-1\\4x&+&y&=&-2\\6x&+&4y&=&3\end{array}

    2. β€…β€Šxβˆ’3y=42x+y=14x+5y=9\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcc}\;x&-&3y&=&4\\2x&+&y&=&1\\4x&+&5y&=&9\end{array}

    3. xβˆ’2y=3βˆ’2x+4y=βˆ’6β€…β€Šβˆ’x+2y=βˆ’3\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcr}x&-&2y&=&3\\-2x&+&4y&=&-6\\\;-x&+&2y&=&-3\end{array}

    4. 6xβˆ’y+2z=15xβˆ’3y+3z=43xβˆ’2y+z=14\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrcrcr}6x&-&y&+&2z&=&1\\5x&-&3y&+&3z&=&4\\3x&-&2y&+&z&=&14\end{array}

    5. 34xβˆ’76y=18βˆ’9x+14y=βˆ’3213x+19y=0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\frac34x&-&\frac76y&=&\frac18\\-9x&+&14y&=&-\frac32\\\frac13x&+&\frac19y&=&0\end{array}