$\begin{array}{ccrcr}3x& +& 2y& =& -1\\ 4x& +& y& =& -2\\ 6x& +& 4y& =& 3\end{array}$

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

$\left(\begin{array}{ccr}3& 2& -1\\ 4& 1& -2\\ 6& 4& 3\end{array}\right)$

Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 4 und die dritte durch 6.

$\underset{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}:6}{\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}:3,\mathrm{I}\mathrm{I}:4}}{\to }}\left(\begin{array}{ccr}1& \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ 1& \frac{1}{4}& -\frac{2}{4}\\ 1& \frac{2}{3}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I}}}{\to }\left(\begin{array}{ccr}1& \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ 0& -\frac{5}{12}& -\frac{1}{6}\\ 0& 0& \frac{5}{6}\end{array}\right)$

"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:

$\begin{array}{ccrcr}x& +& \frac{2}{3}y& =& -\frac{1}{3}\\ 0& +& -\frac{5}{12}y& =& -\frac{1}{6}\\ 0& +& 0& =& \frac{5}{6}\end{array}$

Die letzte Zeile ist eine falsche Aussage. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:

$rg\left(\begin{array}{cc}1& \frac{2}{3}\\ 0& -\frac{5}{12}\\ 0& 0\end{array}\right)=2<3=rg\left(\begin{array}{ccr}1& \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ 0& -\frac{5}{12}& -\frac{1}{3}\\ 0& 0& \frac{5}{6}\end{array}\right)$

$\begin{array}{rcrcc}x& -& 3y& =& 4\\ 2x& +& y& =& 1\\ 4x& +& 5y& =& 9\end{array}$

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

$\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 4\\ 2& 1& 1\\ 4& 5& 9\end{array}\right)$

Dann dividiert man die zweite Zeile durch 2 und die dritte durch 4.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}:2,\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}:4}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 4\\ 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 1& \frac{5}{4}& \frac{9}{4}\end{array}\right)$

Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I}}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 4\\ 0& \frac{7}{2}& -\frac{7}{2}\\ 0& \frac{17}{4}& -\frac{7}{4}\end{array}\right)$

Dividiere anschließen die zweite Zeile durch $\frac{7}{2}$ und die dritte durch $\frac{17}{4}$.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}:\frac{7}{2},\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}:\frac{17}{4}}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 4\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& -\frac{7}{17}\end{array}\right)$

Nun subtrahiert man von der dritten Zeile die zweite.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I}\mathrm{I}}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 4\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& \frac{10}{17}\end{array}\right)$

"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:

$\begin{array}{rcrcc}x& -& 3y& =& 4\\ 0& +& y& =& -1\\ 0& +& 0& =& \frac{10}{17}\end{array}$

Die letzte Zeile ist eine falsche Aussage. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:

$rg\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=2<3=rg\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 4\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& \frac{10}{17}\end{array}\right)$

$\begin{array}{rcrcr}x& -& 2y& =& 3\\ -2x& +& 4y& =& -6\\ -x& +& 2y& =& -3\end{array}$

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

$\left(\begin{array}{rrr}1& -2& 3\\ -2& 4& -6\\ -1& 2& -3\end{array}\right)$

Dann dividiert man die zweite Zeile durch -2 und die dritte durch -1.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}:(-2),\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}:(-1)}}{\to }\left(\begin{array}{rrr}1& -2& 3\\ 1& -2& 3\\ 1& -2& 3\end{array}\right)$

Nun subtrahiert man die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I}}}{\to }\left(\begin{array}{rrr}1& -2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:

$\begin{array}{rcrcc}x& -& 2y& =& 3\\ 0& +& 0& =& 0\\ 0& +& 0& =& 0\end{array}$

Die letzten beiden Zeilen sind wahre Aussagen. Sie tragen nicht zur Lösung bei. Die Lösung steht in der ersten Zeile. Alle Zahlenpaare, welche die erste Zeile erfüllen sind Lösung des Gleichungssystems. Es sind also unendlich viele.

$L=\{(x,y)\in {ℝ}^2|x-2y=3\}$

Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, denn:

$rg\left(\begin{array}{rrr}1& -2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=1<3$

Dennoch kann man eine Lösungsmenge angeben:

$L=\{(x,y)\in {ℝ}^2|x-2y=3\}$

Bemerkung: Die (unendlich vielen) Lösungen befinden sich auf einer Geraden mit der Gleichung $x-2y=3\iff y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$.

$\begin{array}{rcrcrcr}6x& -& y& +& 2z& =& 1\\ 5x& -& 3y& +& 3z& =& 4\\ 3x& -& 2y& +& z& =& 14\end{array}$

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

$\left(\begin{array}{crcc}6& -1& 2& 1\\ 5& -3& 3& 4\\ 3& -2& 1& 14\end{array}\right)\stackrel{5\cdot \mathrm{I}-6\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}}{\underset{1\cdot \mathrm{I}-2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}}\left(\begin{array}{crcc}6& -1& 2& 1\\ 0& 13& -8& -19\\ 0& 3& 0& -27\end{array}\right)$

$\stackrel{\mathrm{II}\leftrightarrow \mathrm{III}}{\underset{\mathrm{II}:3}{⟶}}\left(\begin{array}{crcc}6& -1& 2& 1\\ 0& 1& 0& -9\\ 0& 13& -8& -19\end{array}\right)\stackrel{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-13\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}\left(\begin{array}{crcc}6& -1& 2& 1\\ 0& 1& 0& -9\\ 0& 0& -8& 98\end{array}\right)$

Aus der dritten Zeile folgt:

Die zweite Zeile enthält schon den Wert von $y$:

$\Rightarrow x=\mathrm{2,75};y=-9;z=-\mathrm{12,25}$

$\begin{array}{ccccc}\frac{3}{4}x& -& \frac{7}{6}y& =& \frac{1}{8}\\ -9x& +& 14y& =& -\frac{3}{2}\\ \frac{1}{3}x& +& \frac{1}{9}y& =& 0\end{array}$

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{3}{4}& -\frac{7}{6}& \frac{1}{8}\\ -9& 14& -\frac{3}{2}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{9}& 0\end{array}\right)$

Dann dividiert man die erste Zeile durch $\frac{3}{4}$, die zweite durch $-9$ und die dritte durch $\frac{1}{3}$.

$\underset{\mathrm{III}:\frac{1}{3}}{\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}:\frac{3}{4},\mathrm{I}\mathrm{I}:(-9)}}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& -\frac{14}{9}& \frac{1}{6}\\ 1& -\frac{14}{9}& \frac{1}{6}\\ 1& \frac{1}{3}& 0\end{array}\right)$

Nun subtrahiert man von der zweiten und dritten Zeile die erste.

$\underset{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I}}{\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{I}}}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& -\frac{14}{9}& \frac{1}{6}\\ 0& 0& 0\\ 0& \frac{17}{9}& -\frac{1}{6}\end{array}\right)$

Die zweite Zeile ist eine wahre Aussage und trägt nicht zur Lösung bei.

Aus der letzten Zeile $\frac{17}{9}y=-\frac{1}{6}$ bekommt man für y einen Wert: $y=-\frac{3}{34}$.

Nun setzt man diesen Wert in die erste Zeile ein: $x-\frac{14}{9}(-\frac{3}{34})=\frac{1}{6}$ und formt nach $x$ um. Man bekommt für x einen Wert: $x=\frac{1}{34}$, also $${\displaystyle L=\left\{(\frac{1}{34};-\frac{3}{34})\right\}}$$.

Ermittlung der Lösung mit dem Gauß-Jordan-Verfahren:

Starte noch einmal mit der letzten Matrix:

Man dividiert nun die dritte Zeile durch $\frac{17}{9}$.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}:\frac{17}{9}}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -\frac{14}{9}& \frac{1}{6}\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& -\frac{3}{34}\end{array}\right)$

Anschließend subtrahiert man von der ersten das $-\frac{14}{9}$-fache der dritten Zeile.

$\stackrel{\stackrel{}{\mathrm{I}-(-\frac{14}{9})\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{34}\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& -\frac{3}{34}\end{array}\right)$

Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:

$${\displaystyle L=\left\{(\frac{1}{34};-\frac{3}{34})\right\}}$$

$\begin{array}{rcrcrcr}6x& -& z& +& 2y& =& 48\\ 5y& -& 3x& +& 3z& =& 49\\ 3z& -& 2x& +& y& =& 24\end{array}$

Ordne nach den Variablen.

$\begin{array}{rcrcrcr}6x& +& 2y& -& z& =& 48\\ -3x& +& 5y& +& 3z& =& 49\\ -2x& +& y& +& 3z& =& 24\end{array}$

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

$\left(\begin{array}{crcc}6& 2& -1& 48\\ -3& 5& 3& 49\\ -2& 1& 3& 24\end{array}\right)\stackrel{1\cdot \mathrm{I}+2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}}{\underset{1\cdot \mathrm{I}+3\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}}\left(\begin{array}{crcc}6& 2& -1& 48\\ 0& 12& 5& 146\\ 0& 5& 8& 120\end{array}\right)\underset{5\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}-12\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}\left(\begin{array}{crcc}6& 2& -1& 48\\ 0& 12& 5& 146\\ 0& 0& -71& -710\end{array}\right)$

Aus der dritten Zeile folgt:

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

Setze den gefundenen y- und den gefundenen z-Wert in die erste Zeile ein.

$\Rightarrow x=7;y=8;z=10$

$\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 0& 4\\ 0& -1& -1& -1\\ -1& 1& 3& -1\end{array}\right)\stackrel{1\cdot \mathrm{I}+1\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 0& 4\\ 0& -1& -1& -1\\ 0& -1& 3& 3\end{array}\right)\stackrel{1\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}-1\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 0& 4\\ 0& -1& -1& -1\\ 0& 0& -4& -4\end{array}\right)$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\left(\begin{array}{ccr}2& 3& -1\\ 1& 0& 2\\ 1& -1& 0\end{array}|\begin{array}{c}3\\ 9\\ 2\end{array}\right)\stackrel{1\cdot \mathrm{I}-2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}}{\underset{1\cdot \mathrm{I}-2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}}\left(\begin{array}{crr}2& 3& -1\\ 0& 3& -5\\ 0& 5& -1\end{array}|\begin{array}{r}3\\ -15\\ -1\end{array}\right)\stackrel{5\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}-3\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}\left(\begin{array}{crr}2& 3& -1\\ 0& 3& -5\\ 0& 0& -22\end{array}|\begin{array}{r}3\\ -15\\ -72\end{array}\right)$

Aus der letzten Zeile folgt:

$\left(\begin{array}{ccrr}5& 2& -2& -1\\ 3& 1& -3& -4\\ 2& 0& 1& 4\end{array}\right)\stackrel{3\cdot \mathrm{I}-5\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}}{\underset{2\cdot \mathrm{I}-5\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}}\left(\begin{array}{ccrr}5& 2& -2& -1\\ 0& 1& 9& 17\\ 0& 4& -9& -22\end{array}\right)\stackrel{4\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}-1\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}\left(\begin{array}{ccrr}5& 2& -2& -1\\ 0& 1& 9& 17\\ 0& 0& 45& 90\end{array}\right)$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\left(\begin{array}{crrr}4& 3& 1& 13\\ 2& -5& 3& 1\\ 7& -1& -2& -1\end{array}\right)\stackrel{1\cdot \mathrm{I}-2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}}{\underset{7\cdot \mathrm{I}-4\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}}\left(\begin{array}{crrr}4& 3& 1& 13\\ 0& 13& -5& 11\\ 0& 25& 15& 95\end{array}\right)\stackrel{25\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}-13\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}\left(\begin{array}{crrr}4& 3& 1& 13\\ 0& 13& -5& 11\\ 0& 0& -320& -960\end{array}\right)$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\left(\begin{array}{ccrc}2& 9& -14& 39\\ 3& 6& 2& 36\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& 7& 2\end{array}\right)\stackrel{3\cdot \mathrm{I}-2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}}{\underset{1\cdot \mathrm{I}-4\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}}\left(\begin{array}{ccrc}2& 9& -14& 39\\ 0& 15& -46& 45\\ 0& \frac{23}{3}& -42& 31\end{array}\right)\stackrel{\frac{23}{3}\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}-15\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}\left(\begin{array}{ccrc}2& 9& -14& 39\\ 0& 15& -46& 45\\ 0& 0& \frac{832}{3}& -120\end{array}\right)$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\left(\begin{array}{rrrc}1& 1& -1& 4\\ 4& -2& -2& 3\\ -5& 4& 2& 0\end{array}\right)\stackrel{4\cdot \mathrm{I}-1\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}}{\underset{5\cdot \mathrm{I}+1\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}}\left(\begin{array}{rrrc}1& 1& -1& 4\\ 0& 6& -2& 13\\ 0& 9& -3& 20\end{array}\right)\stackrel{3\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}-2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}\left(\begin{array}{rrrc}1& 1& -1& 4\\ 0& 6& -2& 13\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

Aus unterer Zeile folgt:

$0\cdot z=-1$

$\Rightarrow$ Dies ist nicht lösbar!