$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}3x&+&4y&=&-1\\2x&+&5y&=&-3\end{array}$

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc|c}3&4&-1\\2&5&-3\end{array}\right)$

Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 2.

$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{I:3,\; II:2}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\1&\frac52&-\frac32\end{array}\right)$

Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.

$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\0&\frac76&-\frac76\end{array}\right)$

Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac76$.

$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II:\frac76}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\0&1&-1\end{array}\right)$

Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $\frac43$-fache der zweiten Zeile.

$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{I-\frac43\cdot II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&0&1\\0&1&-1\end{array}\right)$

Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccrcc}3x&-&4y&=&-26\\2x&+&3y&=&28\end{array}$

Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{cc|c}3&-4&-26\\2&3&28\end{array}\right)$

Dann dividiert man die erste Zeile durch 3 und die zweite durch 2.

$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{I:3,\;II:2}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\1&\frac32&14\end{array}\right)$

Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.

$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\0&\frac{17}6&\frac{68}3\end{array}\right)$

Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac{17}6$.

$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{II:\frac{17}6}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\0&1&8\end{array}\right)$

Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $-\frac43$-fache der zweiten Zeile.

$\def\arraystretch{1.25} \xrightarrow{\mathrm{I-(-\frac43)\cdot II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&0&2\\0&1&8\end{array}\right)$

Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen: