Aufgaben zur Parallelverschiebung

Welcher Punkt $P$ wurde um den Vektor $\vec v$ auf $P^{'}$ verschoben?

Gib den Punkt $P$ jeweils in das Eingabefeld ein, zum Beispiel: $(- 2 ∣ 0,5)$

$\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} -2 \\ -3{,}1 \end{pmatrix}$ , $P^{'} (2,7 ∣ 1,6)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

$\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$

$\color{orange}{\begin{pmatrix}2{,}7\\1{,}6\end{pmatrix}}=\color{purple}{\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}-2\\-3{,}1\end{pmatrix}}$

$\displaystyle 2{,}7$	$=$	$\displaystyle x_P+\left(-2\right)$	$\displaystyle +2$
	↓	Löse nach $x_{P}$ auf
$\displaystyle 2{,}7+2$	$=$	$\displaystyle x_P$
$\displaystyle 4{,}7$	$=$	$\displaystyle x_P$

$\displaystyle 1{,}6$	$=$	$\displaystyle y_P+\left(-3{,}1\right)$	$\displaystyle +3{,}1$
	↓	Löse nach $y_{P}$ auf
$\displaystyle y_P$	$=$	$\displaystyle 1{,}6+3{,}1$
$\displaystyle y_P$	$=$	$\displaystyle 4{,}7$

$\color{purple}{\Rightarrow P(4{,}7|4{,}7})$

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

$\displaystyle \color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$
$\displaystyle \color{orange}{\begin{pmatrix}2{,}7\\1{,}6\end{pmatrix}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}-2\\-3{,}1\end{pmatrix}}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
$\displaystyle \color{orange}{\begin{pmatrix}2{,}7\\1{,}6\end{pmatrix}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\-3{,}1\end{pmatrix}$
	↓	Löse nach $\overset\rightharpoonup P=\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}$ auf
$\displaystyle \overset\rightharpoonup P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2{,}7\\1{,}6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-3{,}1\end{pmatrix}$
	↓	Subtrahiere die Vektoren
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4{,}7\\4{,}7\end{pmatrix}$

$\Rightarrow \color{purple}{\overset\rightharpoonup P}=\color{purple}{\begin{pmatrix}4{,}7\\4{,}7\end{pmatrix}}$

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$\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2{,}1 \\ 2{,}3 \end{pmatrix}$ , $P^{'} (5,2 ∣ - 0,7)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

$\color{orange}{\overset\rightharpoonup {P'}}=\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$

$\color{orange}{\begin{pmatrix}5{,}2\\-0{,}7\end{pmatrix}}=\color{purple}{\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}2{,}1\\2{,}3\end{pmatrix}}$

$\displaystyle 5{,}2$	$=$	$\displaystyle x_P+2{,}1$	$\displaystyle -2{,}1$
	↓	Löse nach $x_{P}$ auf
$\displaystyle 5{,}2-2{,}1$	$=$	$\displaystyle x_P$
$\displaystyle 3{,}1$	$=$	$\displaystyle x_P$

$\displaystyle -0{,}7$	$=$	$\displaystyle y_P+2{,}3$	$\displaystyle -2{,}3$
	↓	Löse nach $y_{P}$ auf
$\displaystyle -0{,}7-2{,}3$	$=$	$\displaystyle y_P$
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle y_P$

$\Rightarrow \color{purple}{P(3{,}1|-3)}$

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

$\displaystyle \color{orange}{\overset\rightharpoonup {P'}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup v}$
$\displaystyle \color{orange}{\begin{pmatrix}5{,}2\\-0{,}7\end{pmatrix}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}2{,}1\\2{,}3\end{pmatrix}}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
$\displaystyle \color{orange}{\begin{pmatrix}5{,}2\\-0{,}7\end{pmatrix}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2{,}1\\2{,}3\end{pmatrix}$
	↓	Löse nach $\overset\rightharpoonup P=\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}$ auf
$\displaystyle \overset\rightharpoonup P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}5{,}2\\-0{,}7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2{,}1\\2{,}3\end{pmatrix}$
	↓	Subtrahiere die Vektoren
$\displaystyle \overset\rightharpoonup P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}3{,}1\\-3\end{pmatrix}$

$\Rightarrow \color{purple}{ P(3{,}1|-3)}$

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