Aufgaben zur Parallelverschiebung
Lerne mit diesen Aufgaben, Punkte, Geraden und Funktionen mithilfe von Matrizen parallel zu verschieben.
- 1
Verschiebe den Punkt P um den Vektor v⇀. Gib die Koordinaten von P′ an.
Gib den Punkt P′ jeweils in das Eingabefeld ein, zum Beispiel: (−2∣0,5)
P(−2∣1), v⇀=(1−3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes
1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform
Addiere den Vektor v⇀ zu dem Ortsvektor P⇀
P′⇀=P⇀+v⇀=(−21)+(1−3)
xP′=−2+1=−1
yP′=1+(−3)=−2
→P′(−1∣−2)
2. Variante: Lösung mit der Matrixform
P′⇀=(1001)⋅P⇀+v⇀=(1001)⋅(−21)+(1−3)
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
(1001)⋅(−21)=(−21)+(1−3)
(−21)+(1−3)=(−1−2)
→P′⇀=(−1−2)
Hast du eine Frage oder Feedback?
P(−3,2∣2,4), v⇀=(1,4−1,7)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes
1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform
Addiere den Vektor v⇀ zu dem Ortsvektor P⇀
P′⇀=P⇀+v⇀=(−3,22,4)+(1,4−1,7)
xP′=−3,2+1,4=−1,8
yP′=2,4+(−1,7)=0,7
→P′(−1,8∣0,7)
2. Variante: Lösung mit der Matrixform
P′⇀=(1001)⋅P⇀+v⇀=(1001)⋅(−3,22,4)+(1,4−1,7)
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
(1001)⋅(−3,22,4)+(1,4−1,7)=(−3,22,4)+(1,4−1,7)
(−3,22,4)+(1,4−1,7)=(−1,80,7)
→P′⇀=(−1,80,7)
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Um welchen Vektor v⇀ wurde P auf P′ verschoben?
P(2∣3), P′(3∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes
1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform
P′⇀=P⇀+v⇀
(3−2)=(23)+(vxvy)
3 = 2+vx −2 3−2 = vx 1 = vx −2 = 3+vy −3 −2−3 = vy −5 = vy ⇒v⇀=(vxvy)=(1−5)
2. Variante: Lösung mit der Matrixform
P′⇀ = (1001)⋅P⇀+v⇀ (3−2) = (1001)⋅(23)+v⇀ ↓ v⇀ = (3−2)−(1001)⋅(23) ↓ Führe die Matrix-Vektor- Multiplikation durch
v⇀ = (3−2)−(23) ↓ v⇀ = (1−5) Hast du eine Frage oder Feedback?
P(9∣0,3), P′(5∣0,7)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes
1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform
P′⇀=P⇀+v⇀
(50,7)=(90,3)+(vxvy)
v⇀=(−40,4)
2. Variante: Lösung mit der Matrixform
P′⇀ = (1001)⋅P⇀+v⇀ (50,7) = (1001)⋅(90,3)+v⇀ ↓ v⇀ = (50,7)−(1001)⋅(90,3) ↓ Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
v⇀ = (50,7)−(90,3) ↓ v⇀ = (−40,4) Hast du eine Frage oder Feedback?
- 3
Welcher Punkt P wurde um den Vektor v auf P′ verschoben?
Gib den Punkt P jeweils in das Eingabefeld ein, zum Beispiel: (−2∣0,5)
v⇀=(−2−3,1), P′(2,7∣1,6)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes
1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform
P′⇀=P⇀+v⇀
(2,71,6)=(xPyP)+(−2−3,1)
2,7 = xP+(−2) +2 ↓ 2,7+2 = xP 4,7 = xP 1,6 = yP+(−3,1) +3,1 ↓ yP = 1,6+3,1 yP = 4,7 ⇒P(4,7∣4,7)
2. Variante: Lösung mit der Matrixform
P′⇀ = (1001)⋅P⇀+v⇀ (2,71,6) = (1001)⋅(xPyP)+(−2−3,1) ↓ Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
(2,71,6) = (xPyP)+(−2−3,1) ↓ P⇀ = (2,71,6)−(−2−3,1) ↓ = (4,74,7) ⇒P⇀=(4,74,7)
Hast du eine Frage oder Feedback?
v⇀=(2,12,3), P′(5,2∣−0,7)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes
1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform
P′⇀=P⇀+v⇀
(5,2−0,7)=(xPyP)+(2,12,3)
5,2 = xP+2,1 −2,1 ↓ 5,2−2,1 = xP 3,1 = xP −0,7 = yP+2,3 −2,3 ↓ −0,7−2,3 = yP −3 = yP ⇒P(3,1∣−3)
2. Variante: Lösung mit der Matrixform
P′⇀ = (1001)⋅P⇀+v⇀ (5,2−0,7) = (1001)⋅(xPyP)+(2,12,3) ↓ Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch
(5,2−0,7) = (xPyP)+(2,12,3) ↓ P⇀ = (5,2−0,7)−(2,12,3) ↓ P⇀ = (3,1−3) ⇒P(3,1∣−3)
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 4
Verschiebe die Gerade g um den Vektor v→.
g=2⋅x, v⇀=(10)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung einer Gerade
g:y=2⋅x,v⇀=(10)
(x′y′) = (xy)+(10) ↓ Setze die Geradengleichung in die Matrixform ein.
(x′y′) = (x2⋅x)+(10) ↓ (x′y′) = (x+12⋅x) Damit erhältst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von x.
x′=x+1
y′=2x
Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein:
x =x′−1
y′=2⋅(x′−1)
⇒y′=2⋅x′−2
Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von x′.
Alternativlösung
g:y=2⋅x
Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt.
A(0∣0) und B(1∣2)
Verschiebe die Punkte A und B um den Vektor v⇀=(10).
1. Variante: Berechnung in Koordinatenform
A′⇀=A⇀+v⇀=(00)+(10)
B′⇀=B⇀+v⇀=(12)+(10)
Addiere den Vektor v⇀ zu den Ortsvektoren A⇀ und B⇀
xA′=0+1=1
yA′=0+0=0
→A′(1∣0)
xB′=1+1=2
yB′=2+0=2
→B′(2∣2)
Setze die Koordinaten der Punkte ein.
2. Variante: Berechnung in Matrixform
A′⇀ = (1001)⋅A⇀+v⇀ A′⇀ = (1001)⋅(00)+(10) ↓ Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
A′⇀ = (00)+(10) ↓ A′⇀ = (10) B′⇀ = (1001)⋅B⇀+v⇀ B′⇀ = (1001)⋅(12)+(10) ↓ Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
B′⇀ = (12)+(10) ↓ B′⇀ = (22) A′(1∣0) und B′(2∣2)
Berechne die Steigung durch den Differenzenquotienten.
m=1−20−2=−1−2=2
Setze m und den Punkt B′ in die Geradengleichung ein und stelle sie um, um t zu bestimmen.
y = mx+t 2 = 2⋅2+t −4 −2 = t Stelle die Geradengleichung auf.
y=2⋅x−2
Hast du eine Frage oder Feedback?
g=3⋅x+21, v⇀=(42)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung einer Gerade
g:y=3⋅x+21, v⇀=(42)
(x′y′) = (xy)+(42) ↓ Setze die Geradengleichung in die Matrixform ein.
(x′y′) = (x3⋅x+21)+(42) ↓ (x′y′) = (x+43⋅x+25) Damit erhältst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von x.
x′=x+4
y′=3⋅x+25
Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein.
x=x′−4
y′=3⋅(x′−4)+25
⇒y′=3⋅x′−219
Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von x′
Alternativlösung:
g:y=3⋅x+21
Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt. In diesem Fall betrachtest du den y-Abschnitt und gehst dann 3 nach unten und 1 nach links, sodass du bei B landest.
A(0∣21) und B(−1∣−25)
Verschiebe die Punkte A und B um den Vektor v⇀=(42)
1. Variante: Berechnung in Koordinatenform
A′⇀=A⇀+v⇀=(021)+(42)
B′⇀=B⇀+v⇀=(−1−25)+(42)
Addiere den Vektor v⇀ zu den Ortsvektoren A⇀ und B⇀
xA′=0+4=4
yA′=21+2=25
→A′(4∣25)
xB′=−1+4=3
yB′=−25+2=−21
→B′(3∣−21)
Setze die Koordinaten der Punkte ein.
2. Variante: Berechnung in Matrixform
A′⇀ = (1001)⋅A⇀+v⇀ A′⇀ = (1001)⋅(021)+(42) ↓ Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
A′⇀ = (021)+(42) ↓ A′⇀ = (425) B′⇀ = (1001)⋅B⇀+v⇀ B′⇀ = (1001)⋅(−1−25)+(42) ↓ Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
B′⇀ = (−1−25)+(42) ↓ B′⇀ = (3−21) A′(4∣25) und B′(3∣−21)
Berechne die Steigung durch den Differenzenquotienten.
m=4−325−(−21)=13=3
Setze m und den Punkt B′ in die Geradengleichung ein und stelle sie um, um t zu bestimmen.
y = mx+t −21 = 3⋅3+t −9 −21−9 = t −219 = t Stelle die Geradengleichung auf.
y=3⋅x−219
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 5
Verschiebe die Funktion f(x) um den Vektor v⇀.
f(x)=x2, v⇀=(21)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung
Um bei einer Funktion f(x) eine Parallelverschiebung um den Vektor v⇀ durchzuführen, setzt du y=f(x)=x2.
Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:
x′y′==x+vxy+vy
Setze y=x2 in das Gleichungssystem ein.
x′y′==x+vxx2+vy
Setze die Koordinaten des Vektors v⇀=(21) in das Gleichungssystem ein.
x′y′==x+2x2+1
xy′==x′−2x2+1
Ersetze x=x′−2 in der Gleichung für y′.
y′ = (x′−2)2+1 y′ = (x′2−4⋅x′+4)+1 y′ = x′2−4⋅x′+5 Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.
Alternative 2: Berechnung in Matrixform:
(x′y′) = (1001)⋅(xy)+(vxvy) ↓ Setze y=x2 in den Vektor ein.
(x′y′) = (1001)⋅(xx2)+(vxvy) ↓ Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
(x′y′) = (xx2)+(vxvy) ↓ Setze die Koordinaten des Vektors v⇀=(21) in den Vektor ein.
(x′y′) = (xx2)+(21) ⇒x′=x+2⇔x=x′−2 ⇒y′=x2+1
Ersetze x=x′−2 in der Gleichung für y′.
⇒y′=(x′−2)2+1 ⇔y′=(x′2−4⋅x′+4)+1 ⇔y′=x′2−4⋅x′+5
Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=2⋅x3+4⋅x2+x−2, v⇀=(−22)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung
Um bei einer Funtion f(x) eine Parallelverschiebung um einen Vektor v⇀ zu durchzuführen, setzt du y=f(x)=2⋅x3+4⋅x2+x−2.
Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:
x′y′==x+vxy+vy
Setze y=2⋅x3+4⋅x2+x−2 in das Gleichungssystem ein.
x′y′==x+vx2⋅x3+4⋅x2+x−2+vy
Setze die Koordinaten des Vektors v⇀=(−22) in das Gleichungssystem ein.
x′y′==x−22⋅x3+4⋅x2+x−2+2
xy′==x′+22⋅x3+4⋅x2+x
Setze die Gleichung für x in die Gleichung für y′ ein und vereinfache.
⇒y′=2⋅(x′+2)3+4⋅(x′+2)2+(x+2)⇔y′=2⋅(x′3+6⋅x′2+12⋅x′+8)+4⋅(x′2+4⋅x′+4)+x′+2⇔y′=2⋅x′3+12⋅x′2+24⋅x′+16+4⋅x′2+16⋅x′+16+x′+2⇔y′=2⋅x′3+16⋅x′2+41⋅x′+34
Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.
Alternative 2: Berechnung in Matrixform:
(x′y′) = (1001)⋅(xy)+(vxvy) ↓ Setze y=2⋅x3+4⋅x2+x−2 in den Vektor ein.
(x′y′) = (1001)⋅(x2⋅x3+4⋅x2+x−2)+(−22) ↓ Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
(x′y′) = (x2⋅x3+4⋅x2+x−2)+(vxvy) ↓ Setze die Koordinaten des Vektors v⇀=(−22) in den Vektor ein.
(x′y′) = (x2⋅x3+4⋅x2+x−2)+(−22) ⇒x′=x−2⇔x=x′+2 ⇒y′=2⋅x3+4⋅x2+x−2+2
Setze die Gleichung für x in die Gleichung für y′ ein.
⇒y′=2⋅(x′+2)3+4⋅(x′+2)2+(x′+2)
⇒y′=2⋅(x′3+6⋅x′2+12⋅x′+8)+4⋅(x′2+4⋅