Aufgaben zur Parallelverschiebung

Verschiebe die Gerade $g$ um den Vektor $\overset\rightarrow v$ .

$g=2\cdot x$ , $\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung einer Gerade

$g:y=2\cdot x,\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Setze die Geradengleichung in die Matrixform ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\2\cdot x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Addiere die Vektoren.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x+1\\2\cdot x\end{pmatrix}%$

Damit erhältst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von $x$ .

$x^{'} = x + 1$

$y^{'} = 2 x$

Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein:

$x\ = x' - 1$

$y'=2\cdot(x'-1)$

$\Rightarrow y'=2\cdot x'-2$

Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von $x ′$ .

Alternativlösung

$g:y=2\cdot x$

Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt.

$A (0 ∣ 0)$ und $B (1 ∣ 2)$

Verschiebe die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ .

1. Variante: Berechnung in Koordinatenform

$\overset\rightharpoonup {A′}=\overset\rightharpoonup A+\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

$\overset\rightharpoonup {B′}=\overset\rightharpoonup B+\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

Addiere den Vektor $\overset\rightharpoonup v$ zu den Ortsvektoren $\overset\rightharpoonup A$ und $\overset\rightharpoonup B$

$x_{A'}=0+1=1$

$y_{A'}=0+0=0$

$\rightarrow A'(1|0)$

$x_{B'}=1+1=2$

$y_{B'}=2+0=2$

$\rightarrow B'(2|2)$

Setze die Koordinaten der Punkte ein.

2. Variante: Berechnung in Matrixform

$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\overset\rightharpoonup{A}+\overset\rightharpoonup v$
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Addiere die Vektoren
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {A'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\overset\rightharpoonup{B}+\overset\rightharpoonup v$
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Addiere die Vektoren
$\displaystyle \overset\rightharpoonup {B'}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$

Geradengleichung aufstellen

$A^{'} (1 ∣ 0)$ und $B^{'} (2 ∣ 2)$

Berechne die Steigung durch den Differenzenquotienten.

$m=\frac{0-2}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2$

Setze $m$ und den Punkt $B^{'}$ in die Geradengleichung ein und stelle sie um, um $t$ zu bestimmen.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle mx + t$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 2 \cdot 2 + t$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle t$

Stelle die Geradengleichung auf.

$y=2\cdot x-2$

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$g=3\cdot x +\frac12$ , $\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung einer Gerade

$g:y=3\cdot x+\frac12$ , $\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$
	↓	Setze die Geradengleichung in die Matrixform ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\3\cdot x+\frac12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$
	↓	Addiere die Vektoren.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x+4\\3\cdot x+\frac52\end{pmatrix}$

Damit erhältst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von x.

$x^{'} = x + 4$

$y'=3\cdot x+\frac52$

Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein.

$x = x^{'} - 4$

$y'=3\cdot (x'-4) +\frac52$

$\Rightarrow y'=3\cdot x' -\frac{19}{2}$

Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von $x^{'}$

Alternativlösung:

$g:y=3\cdot x+\frac12$

Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt. In diesem Fall betrachtest du den y-Abschnitt und gehst dann $3$ nach unten und $1$ nach links, sodass du bei $B$ landest.

$A\left(0|\frac12\right)$ und $B\left(-1|-\frac52\right)$

Verschiebe die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

1. Variante: Berechnung in Koordinatenform

$\overset\rightharpoonup {A′}=\overset\rightharpoonup A+\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}0\\\frac12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

$\overset\rightharpoonup {B′}=\overset\rightharpoonup B+\overset\rightharpoonup v=\begin{pmatrix}-1\\-\frac52\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

Addiere den Vektor $\overset\rightharpoonup v$ zu den Ortsvektoren $\overset\rightharpoonup A$ und $\overset\rightharpoonup B$

$x_{A'}=0+4=4$

$y_{A'}=\frac12+2=\frac52$

$\rightarrow A'\left(4|\frac52\right)$

$x_{B'}=-1+4=3$

$y_{B'}=-\frac52+2=-\frac12$

$\rightarrow B'\left(3|-\frac12\right)$