Aufgaben zur Parallelverschiebung

Um welchen Vektor $\overset\rightharpoonup v$ wurde $P$ auf $P^{'}$ verschoben?

$P (2 ∣ 3)$ , $P^{'} (3 ∣ - 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung eines Punktes

1. Variante: Lösung mit der Koordinatenform

$\color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}=\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$

$\color{orange}{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}=\color{purple}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+\color{red}{\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}}$

Löse nach $v_{x}$ auf:

$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 2+v_x$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 3-2$	$=$	$\displaystyle v_x$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle v_x$

Löse nach $v_{y}$ auf:

$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 3+v_y$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle -2-3$	$=$	$\displaystyle v_y$
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle v_y$

$\Rightarrow \color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}=\color{red}{\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}}=\color{red}{\begin{pmatrix}1\\-5\end{pmatrix}}$

2. Variante: Lösung mit der Matrixform

$\displaystyle \color{orange}{\overset\rightharpoonup{P'}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1 &0\\0 &1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\overset\rightharpoonup{P}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$
$\displaystyle \color{orange}{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+\color{red}{\overset\rightharpoonup{v}}$
	↓	Löse nach $\overset\rightharpoonup v$ auf
$\displaystyle \textcolor{red}{\overset\rightharpoonup v}$	$=$	$\displaystyle \textcolor{orange}{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\color{purple}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor- Multiplikation durch
$\displaystyle \textcolor{red}{\overset\rightharpoonup v}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$
	↓	Subtrahiere die Vektoren
$\displaystyle \textcolor{red}{\overset\rightharpoonup v}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-5\end{pmatrix}$

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$P (9 ∣ 0,3)$ , $P^{'} (5 ∣ 0,7)$