Aufgaben zur Länge eines Vektors

Lässt sich der Vektor $\vec{w}$ durch eine Streckung des Vektors $\vec{v}$ erzeugen? Wenn ja, bestimme den Faktor $k$ , um den $\vec{v}$ gestreckt wurde.

$\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} - 6 \\ - 15 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
Prüfe, ob die Formel $w ⃗ = k \cdot v ⃗$ für ein k erfüllt werden kann.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} - 6 \\ - 15 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array}) \end{array}$
Prüfe nun für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.
Für die x-Kompenente soll gelten:
$\begin{array}{l} - 6 = k \cdot 2 \\ k = - 6 : 2 = - 3 \end{array}$
Für die y-Komponente soll gelten:
$\begin{array}{l} - 15 = k \cdot 5 \\ k = - 15 : 5 = - 3 \end{array}$
$\Rightarrow k = - 3$
Für beide Gleichungen kommt dasselbe Ergebnis heraus. Das heißt, dass der Vektor $\vec{w}$ aus $\vec{v}$ durch Streckung um $- 3$ entsteht.
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$\vec{v} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 31 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
Prüfe, ob die Formel $\begin{array}{l} \vec{w} = k \cdot \vec{v} \end{array}$ für ein $k$ erfüllt werden kann.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 31 \end{array}) \end{array}$
Prüfe für jede Komponente des Vektors, ob diese Gleichung erfüllt werden kann:
Für die x-Komponente soll gelten:
$\begin{array}{l} 1 = k \cdot (- 5) \\ k = - \frac{1}{5} \end{array}$
Für die y-Komponente soll gelten:
$\begin{array}{l} - 7 = k \cdot 31 \\ k = - \frac{7}{31} \end{array}$
$\Rightarrow - \frac{1}{5} \neq - \frac{7}{31}$
Du erhältst für $k$ zwei verschiedene Werte.
Der Vektor $\vec{w}$ kann also nicht durch eine Streckung der Vektors $\vec{v}$ um eine reelle Zahl $k$ erzeugt werden.
Die Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ zeigen somit weder in die gleiche noch in die entgegengesetzte Richtung.
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$\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6,75 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 576 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
Prüfe, ob die Formel $\vec{w} = k \cdot \vec{v}$ für ein k erfüllt werden kann.
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 0 \\ - 576 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 6,75 \end{array}) \end{array}$
Prüfe für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.
Für die x-Kompenente soll gelten:
$0 = k \cdot 0$
Diese Gleichung ist für alle reellen Zahlen erfüllt.
Für die y-Komponente soll gelten:
$- 576 = k \cdot 6,75$
$k = - \frac{256}{3}$
Da die erste Gleichung für beliebige reelle Zahlen erfüllt ist, gilt sie insbesondere auch für $k = - \frac{256}{3}$ . Dies ist also der gesuchte Streckungsfaktor.
$\Rightarrow$ Das heißt, dass der Vektor $\vec{w}$ aus $\vec{v}$ durch Streckung um $k = - \frac{256}{3}$ entsteht.
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