Aufgaben zur Länge eines Vektors

Wie gut kennst du dich mit Vektoren aus? Lerne mit diesen Aufgaben, die Länge von Vektoren zu berechnen!

1
Berechne die Länge des Vektors:
1. $\vec v = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec v = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$
  Bestimme die Länge mittels Satz des Pythagoras.
  Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \left| \vec v \right| = \left| \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} \right| &=& \sqrt{3^2+4^2} \\&=& \sqrt{9+16} \\&=& \sqrt{25} \\&=&5 \end{array}$
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2. $\vec v =\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec v = \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$
  Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.
  Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \left| \vec v \right| = \left| \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix} \right| &=& \sqrt{3^2+(-2)^2} \\&=& \sqrt{9+4} \\&=& \sqrt{13} \\&\approx& 3{,}6 \end{array}$
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3. $\vec v = \begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec v = \begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}$
  Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras
  Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \left| \vec v \right| = \left| \begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix} \right| &=& \sqrt{8^2+(0)^2} \\&=& \sqrt{64+0} \\&=& \sqrt{64} \\&=& 8 \end{array}$
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4. $\vec v = \begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec v = \begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}$
  Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.
  Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \left| \vec v \right| = \left| \begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix} \right| &=& \sqrt{(-5)^2+(5)^2} \\&=& \sqrt{25+25} \\&=& \sqrt{25\cdot2} \\&=& 5\sqrt2 \end{array}$
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2
Berechne die Länge bzw. den Betrag des Vektors. Runde, falls nötig, auf zwei Nachkommastellen.
1. $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}=\sqrt{4+1+25}=\sqrt{30}\approx 5{,}48$
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2. $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{12^2+3^2+4^2}=\sqrt{144+9+16}=13$
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3. $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\approx 3{,}74$
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4. $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}\approx 4{,}58$
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5. $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}=\sqrt{9+16}=5$
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6. $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2\approx 1{,}41$
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7. $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{5^2+1^2+9^2}=\sqrt{25+1+81}=\sqrt{107}\approx 10{,}34$
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8. $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{(-5)^2+3^2+9^2}=\sqrt{25+9+81}=\sqrt{115}\approx 10{,}72$
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9. $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac23\\0{,}2\end{pmatrix}$
  (mit 2 Nachkommastellen)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac23\\0{,}2\end{pmatrix}$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $\displaystyle\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{4^2+\left(-{\frac23}\right)^2+0{,}2^2}=\sqrt{16+{\frac49}+0{,}04}\approx4{,}06$
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3
Lässt sich der Vektor $\vec{w}$ durch eine Streckung des Vektors $\vec{v}$ erzeugen? Wenn ja, bestimme den Faktor $k$ , um den $\vec{v}$ gestreckt wurde.
1. $\vec v = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ und $\vec w = \begin{pmatrix}-6\\-15\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
  Prüfe, ob die Formel $w⃗ =k⋅ v⃗$ für ein k erfüllt werden kann.
  $\begin{pmatrix}-6\\-15\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} \\$
  $\,$
  Prüfe nun für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.
  Für die x-Kompenente soll gelten:
  $-6 = k \cdot 2 \\ k=-6: 2 =-3$
  Für die y-Komponente soll gelten:
  $-15 = k \cdot 5 \\ k=-15:5=-3$
  $\Rightarrow\,k = -3$
  Für beide Gleichungen kommt dasselbe Ergebnis heraus. Das heißt, dass der Vektor $\vec w$ aus $\vec v$ durch Streckung um $-3$ entsteht.
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2. $\vec v = \begin{pmatrix}-5\\31\end{pmatrix}$ und $\vec w = \begin{pmatrix}1\\-7\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
  Prüfe, ob die Formel $\,\vec w = k \cdot \vec v \ \\$ für ein $k$ erfüllt werden kann.
  $\begin{pmatrix}1\\-7\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}-5\\31\end{pmatrix} \\$
  Prüfe für jede Komponente des Vektors, ob diese Gleichung erfüllt werden kann:
  Für die x-Komponente soll gelten:
  $1 = k \cdot (-5) \\k=-\frac15$
  Für die y-Komponente soll gelten:
  $-7 = k \cdot 31\\ k=-\frac{7}{31}$
  $\Rightarrow-\frac1 5 ≠ -\frac{7}{31}$
  Du erhältst für $k$ zwei verschiedene Werte.
  Der Vektor $\vec{w}$ kann also nicht durch eine Streckung der Vektors $\vec v$ um eine reelle Zahl $k$ erzeugt werden.
  Die Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ zeigen somit weder in die gleiche noch in die entgegengesetzte Richtung.
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3. $\vec v = \begin{pmatrix}0\\6{,}75\end{pmatrix}$ und $\vec w = \begin{pmatrix}0\\-576\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
  Prüfe, ob die Formel $\,\vec w = k \cdot \vec v \,\,$ für ein k erfüllt werden kann.
  $\begin{pmatrix}0\\-576\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}0\\6{,}75\end{pmatrix} \\$
  Prüfe für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.
  Für die x-Kompenente soll gelten:
  $0 = k \cdot 0$
  $\,$ Diese Gleichung ist für alle reellen Zahlen erfüllt.
  Für die y-Komponente soll gelten:
  $-576 = k \cdot 6{,}75$
  $k=-\frac{256}{3}$
  Da die erste Gleichung für beliebige reelle Zahlen erfüllt ist, gilt sie insbesondere auch für $k= -\frac{256}{3}$ . Dies ist also der gesuchte Streckungsfaktor.
  $\Rightarrow$ Das heißt, dass der Vektor $\vec w$ aus $\vec v$ durch Streckung um $k = -\frac{256}{3}$ entsteht.
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4
Normiere den Vektor zu seinem zugehörigen Einheitsvektor.
1. $\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen
  Länge des Vektors berechnen
  Berechne die Länge des Vektors.
  $|\vec a|=\sqrt{3^2+0^2+4^2} LE=\sqrt{25} LE=5 LE$
  Vektor normieren
  Teile den Vektor durch seine Länge
  $\vec a^0=\frac {\vec a} {|\vec a|}=\frac 1 5 \cdot \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}6\\0\\0{,}8\end{pmatrix}$
  Probe
  Falls du deine Lösung überprüfen möchtest, bestimme die Länge des normierten Vektors.
  $|\vec a ^0|=\sqrt{0{,}6^2+0^2+0{,}8^2}LE=\sqrt{1}LE=1LE$
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  Der normierte Vektor hat die Länge 1. Du erhältst ihn, wenn du jede Koordinate durch die Länge des Vektors teilst.
2. $\vec{a}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen
  Länge des Vektors berechnen
  Berechne die Länge des Vektors.
  $|\vec a|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2} LE=\sqrt{9} LE=3 LE$
  Vektor normieren
  Teile den Vektor durch seine Länge
  $\displaystyle{\vec a^0=\frac {\vec a} {|\vec a|}=\frac 1 3 \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac 2 3\\\frac 1 3\\\frac 2 3\end{pmatrix}}$
  Probe
  Falls du deine Lösung überprüfen möchtest, bestimme die Länge des normierten Vektors.
  $|\vec a ^0|=\sqrt{\left( -\frac 2 3\right )^2+\left ( \frac 1 3 \right)^2+\left ( \frac 1 3 \right)^2}LE=\sqrt{1}LE=1LE$
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  Der normierte Vektor hat die Länge 1. Du erhältst ihn, wenn du jede Koordinate durch die Länge des Vektors teilst.

Verändere den Vektor $\vec a=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$ so, dass er die geforderte Länge hat

Länge 10

Länge 2

Länge a

6
Der Punkt P teilt die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis 2:3. Bestimme die Koordinaten von P und die Streckenlängen $\overline{AP}$ und $\overline{BP}$ . Dabei ist $A(1|0|0)$ und $B(-2|0|4)$ gegeben.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Vektor $\overrightarrow{AB}$
Da die Koordinaten von P gefragt sind, musst du den Vektor $\overrightarrow{AB}$ bilden:
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2-1\\0-0\\4-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}$
Koordinaten von P
Als nächstes musst du das Verhältnis 2:3 deuten. Die Strecke wird insgesamt in 5 Teile geteilt (2+3) und somit liegt P von A aus gesehen bei $\frac 2 5$ des Vektors $\overrightarrow{AB}$ .
Verwende die Ortsvektoren $\overrightarrow P$ und $\overrightarrow{A}$ sowie die skalare Multiplikation für die Vektorkette:
$\overrightarrow P=\overrightarrow A+\frac 2 5\cdot\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\frac 2 5\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1{,}2\\0\\1{,}6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0{,}2\\0\\1{,}6\end{pmatrix}$
Der Punkt ist also P(-0,2|0|1,6).
Streckenlängen
Berechne die Länge des Vektors $\overrightarrow{AB}$ :
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+0^2+4^2}=5$ (LE)
Wird der Vektor in einem bestimmten Verhältnis geteilt, so gilt das auch die Strecke:
$|\overrightarrow{AP}|=\frac 2 5\cdot 5=2$ (LE)
$|\overrightarrow{PB}|=\frac 3 5 \cdot 5=3$ (LE)

Stelle den Vektor $\overrightarrow{AB}$ auf.
Bestimme mithilfe einer Vektorkette den Ortsvektor von P, dabei musst du $\overrightarrow{AB}$ passend verkürzen.
Wenn du P hast, kannst du entweder die neuen Vektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{BP}$ aufstellen und ihre Länge berechnen oder du arbeitest mit der Länge von $\overrightarrow{AB}$ und dem Verhältnis.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \dfrac{k}{\|\vec a\|}\cdot \vec a$	$=$	$\displaystyle \frac {10}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$
	↓	Berechne den Wert des Bruchs.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot \begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$
	↓	Führe die skalare Multiplikation durch.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\8\\6\end{pmatrix}$

$\displaystyle \dfrac{k}{\|\vec a\|}\cdot \vec a$	$=$	$\displaystyle \frac {2}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$
	↓	Führe die skalare Multiplikation durch.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1{,}6\\1{,}2\end{pmatrix}$

$\displaystyle \dfrac{k}{\|\vec a\|}\cdot \vec a$	$=$	$\displaystyle \frac {a}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$
	↓	Führe die skalare Multiplikation durch.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac {a}{5}\cdot0\\\frac {a}{5}\cdot4\\\frac {a}{5}\cdot3\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\\dfrac {4}{5}a\\\dfrac {3}{5}a\end{pmatrix}$

Aufgaben zur Länge eines Vektors

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Vektor $\overrightarrow{AB}$

Koordinaten von P

Streckenlängen

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Vektor AB→\overrightarrow{AB}AB

Koordinaten von P

Streckenlängen

Vektor $\overrightarrow{AB}$