Vektor $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$

Da die Koordinaten von P gefragt sind, musst du den Vektor $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$ bilden:

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}-2-1\\ 0-0\\ 4-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{AB\}=\backslash begin\{pmatrix\}-2-1\backslash \backslash 0-0\backslash \backslash 4-0\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash 0\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}$

Koordinaten von P

Als nächstes musst du das Verhältnis 2:3 deuten. Die Strecke wird insgesamt in 5 Teile geteilt (2+3) und somit liegt P von A aus gesehen bei $\frac{2}{5}\backslash frac\; 2\; 5$ des Vektors $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$.

Verwende die Ortsvektoren $\overrightarrow{P}\backslash overrightarrow\; P$ und $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ sowie die skalare Multiplikation für die Vektorkette:

$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{A}+\frac{2}{5}\cdot \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\frac{2}{5}\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\mathrm{1,2}\\ 0\\ \mathrm{1,6}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{0,2}\\ 0\\ \mathrm{1,6}\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; P=\backslash overrightarrow\; A+\backslash frac\; 2\; 5\backslash cdot\backslash overrightarrow\{AB\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}+\backslash frac\; 2\; 5\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash 0\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}+\backslash begin\{pmatrix\}-1\{,\}2\backslash \backslash 0\backslash \backslash 1\{,\}6\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}-0\{,\}2\backslash \backslash 0\backslash \backslash 1\{,\}6\backslash end\{pmatrix\}$

Der Punkt ist also P(-0,2|0|1,6).

Streckenlängen

Berechne die Länge des Vektors $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$:

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{(-3{)}^2+0^2+4^2}=5|\backslash overrightarrow\{AB\}|=\backslash sqrt\{(-3)^2+0^2+4^2\}=5$ (LE)

Wird der Vektor in einem bestimmten Verhältnis geteilt, so gilt das auch die Strecke:

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }=\frac{2}{5}\cdot 5=2|\backslash overrightarrow\{AP\}|=\backslash frac\; 2\; 5\backslash cdot\; 5=2$ (LE)

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PB}\mathrm{\mid }=\frac{3}{5}\cdot 5=3|\backslash overrightarrow\{PB\}|=\backslash frac\; 3\; 5\; \backslash cdot\; 5=3$ (LE)