Aufgaben zur zentrischen Streckung

Strecke die Gerade, die durch die Gleichung $2\cdot x+3\cdot y=6$ gegeben ist, um den Faktor $k = - 2$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung

$2\cdot x + 3 \cdot y = 6$

Wähle zwei Punkte auf der Geraden, zum Beispiel den $x$ - und den $y$ -Achsenabschnitt.

$A (0 ∣ 2)$ und $B (3 ∣ 0)$

Strecke die Punkte $A$ und $B$ um den Faktor $k = - 2$ .

Setze den Faktor $k = - 2$ in das Gleichungssystem ein.

Setze die Koordinaten der Punkte $A (0 ∣ 2)$ und $B (3 ∣ 0)$

Damit sind die gestreckten Punkte $A^{'} (0 ∣ - 4)$ und $B^{'} (- 6 ∣ 0)$ .

$\begin{pmatrix}x_{A'}\\y_{A'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k & 0 \\0 & k\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_A\\y_A\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x_{B'}\\y_{B'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k & 0 \\0 & k\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_B\\y_B\end{pmatrix}$

Setze den Faktor $k = - 2$ in die Matrizen ein.

$\begin{pmatrix}x_{A'}\\y_{A'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 0 \\0 & -2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_A\\y_A\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x_{B'}\\y_{B'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 0 \\0 & -2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_B\\y_B\end{pmatrix}$

Setze die Koordinaten der Punkte $A (0 ∣ 2)$ und $B (3 ∣ 0)$ in die Vektoren ein.

$\begin{pmatrix}x_{A'}\\y_{A'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 0 \\0 & -2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x_{B'}\\y_{B'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 0 \\0 & -2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x_{A'}\\y_{A'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x_{B'}\\y_{B'}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\0\end{pmatrix}$

Damit sind die gestreckten Punkte $A^{'} (0 ∣ - 4)$ und $B^{'} (- 6 ∣ 0)$ .

$y=m\cdot x + t$

Den $y$ -Achsenabschnitt $t$ kannst du von dem Punkt $A^{'} (0 ∣ - 4)$ ablesen.

$t = - 4$ $\Rightarrow y = m\cdot x -4$

Die Steigung $m$ kannst du durch die Koordinaten der Punkte $A^{'}$ und $B^{'}$ bestimmen.

$m = \frac{-4}{-6} = \frac23 \Rightarrow y = \frac23 \cdot x -4 \Leftrightarrow \frac23 \cdot x- y = 4$

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