Aufgaben zur zentrischen Streckung

Wie gut kennst du dich aus? Lerne mit diesen Aufgaben, Punkte und Geraden mithilfe von Matrizen zentrisch zu strecken.

1
Strecke den Punkt $A$ um den Faktor $k$ um den Ursprung
1. $A (2 | 3), k = 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\begin{matrix} x^{'} & = & k \cdot x \\ y^{'} & = & k \cdot y \end{matrix}$
  Setze den Faktor $k = 2$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} x^{'} & = & 2 \cdot x \\ y^{'} & = & 2 \cdot y \end{matrix}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $A = (2 | 3)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} x^{'} & = & 2 \cdot 2 & = & 4 \\ y^{'} & = & 2 \cdot 3 & = & 6 \end{matrix}$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze den Faktor $k = 2$ in die Matrix ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die Koordinaten des Punkte $A = (2 | 3)$ .
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array})$
  Führe Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array})$
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2. $A (4 | - 1), k = - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $\begin{matrix} x^{'} & = & k \cdot x \\ y^{'} & = & k \cdot y \end{matrix}$
  Setze den Faktor $k = - 1$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} x^{'} & = & - 1 \cdot x \\ y^{'} & = & - 1 \cdot y \end{matrix}$
  Setze die Koordinaten des Punktes $A = (4 | - 1)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} x^{'} & = & - 1 \cdot 4 & = & - 4 \\ y^{'} & = & - 1 \cdot (- 1) & = & 1 \end{matrix}$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze den Faktor $k = - 1$ in die Matrix ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die Koordinaten des Punkte $A = (4 | - 1)$ .
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 1 \end{array})$
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3. $A (5 | 1), k = 0,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $x^{'} = k \cdot x$
  $y^{'} = k \cdot y$
  Setze den Faktor $k = - 1$ in das Gleichungssystem ein.
  $x^{'} = 0,5 \cdot x$
  $y^{'} = 0,5 \cdot y$
  Setze die Koordinaten des Punktes $A = (5 | 1)$ in das Gleichungssystem ein.
  $x^{'} = 0,5 \cdot 5 = 2,5$
  $y^{'} = 0,5 \cdot 1 = 0,5$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze den Faktor $k = 0,5$ in die Matrix ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0,5 & 0 \\ 0 & 0,5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die Koordinaten des Punkte A=(5|1).
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0,5 & 0 \\ 0 & 0,5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ 0,5 \end{array})$
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4. $A (\frac{3}{4} | - 1), k = - \frac{4}{5}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung
  Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:
  $x^{'} = k \cdot x$
  $y^{'} = k \cdot y$
  Setze den Faktor $k = - \frac{4}{5}$ in das Gleichungssystem ein.
  $x^{'} = - \frac{4}{5} \cdot x$
  $y^{'} = - \frac{4}{5} \cdot y$
  Setze die Koordinaten des Punktes $A = (\frac{3}{4} | - 1)$ in das Gleichungssystem ein.
  $\begin{matrix} x^{'} & = & - \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} & = & - \frac{3}{5} \\ y^{'} & = & - \frac{4}{5} \cdot (- 1) & = & \frac{4}{5} \end{matrix}$
  Alternative 2: Lösung in Matrixform:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze den Faktor $k = - \frac{4}{5}$ in die Matrix ein.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{4}{5} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
  Setze die Koordinaten des Punkte $A = (\frac{3}{4} | - 1)$ .
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{4}{5} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} \frac{3}{4} \\ - 1 \end{array})$
  Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{array})$
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2
Strecke die Gerade, die durch die Gleichung $2 \cdot x + 3 \cdot y = 6$ gegeben ist, um den Faktor $k = - 2$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung
$2 \cdot x + 3 \cdot y = 6$
Wähle zwei Punkte auf der Geraden, zum Beispiel den $x$ - und den $y$ -Achsenabschnitt.
$A (0 | 2)$ und $B (3 | 0)$
Strecke die Punkte $A$ und $B$ um den Faktor $k = - 2$ .
Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:
$x_{A^{'}}$ $=$ $k \cdot x_{A}$
$y_{A^{'}}$ $=$ $k \cdot y_{A}$
$x_{B^{'}}$ $=$ $k \cdot x_{B}$
$y_{B^{'}}$ $=$ $k \cdot y_{B}$
Setze den Faktor $k = - 2$ in das Gleichungssystem ein.
$x_{A^{'}}$ $=$ $- 2 \cdot x_{A}$
$y_{A^{'}}$ $=$ $- 2 \cdot y_{A}$
$x_{B^{'}}$ $=$ $- 2 \cdot x_{B}$
$y_{B^{'}}$ $=$ $- 2 \cdot y_{B}$
Setze die Koordinaten der Punkte $A (0 | 2)$ und $B (3 | 0)$
$x_{A^{'}}$ $=$ $- 2 \cdot 0$
$y_{A^{'}}$ $=$ $- 2 \cdot 2$
$x_{B^{'}}$ $=$ $- 2 \cdot 3$
$y_{B^{'}}$ $=$ $- 2 \cdot 0$
Damit sind die gestreckten Punkte $A^{'} (0 | - 4)$ und $B^{'} (- 6 | 0)$ .
Alternative 2: Berechnung in Matrixform:
$(\begin{array}{c} x_{A^{'}} \\ y_{A^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{A} \\ y_{A} \end{array})$
$(\begin{array}{c} x_{B^{'}} \\ y_{B^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{B} \\ y_{B} \end{array})$
Setze den Faktor $k = - 2$ in die Matrizen ein.
$(\begin{array}{c} x_{A^{'}} \\ y_{A^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{A} \\ y_{A} \end{array})$
$(\begin{array}{c} x_{B^{'}} \\ y_{B^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{B} \\ y_{B} \end{array})$
Setze die Koordinaten der Punkte $A (0 | 2)$ und $B (3 | 0)$ in die Vektoren ein.
$(\begin{array}{c} x_{A^{'}} \\ y_{A^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array})$
$(\begin{array}{c} x_{B^{'}} \\ y_{B^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array})$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikationen aus.
$(\begin{array}{c} x_{A^{'}} \\ y_{A^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \end{array})$
$(\begin{array}{c} x_{B^{'}} \\ y_{B^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ 0 \end{array})$
Damit sind die gestreckten Punkte $A^{'} (0 | - 4)$ und $B^{'} (- 6 | 0)$ .
Aufstellen der Geradengleichung:
$y = m \cdot x + t$
Den $y$ -Achsenabschnitt $t$ kannst du von dem Punkt $A^{'} (0 | - 4)$ ablesen.
$t = - 4$ $\Rightarrow y = m \cdot x - 4$
Die Steigung $m$ kannst du durch die Koordinaten der Punkte $A^{'}$ und $B^{'}$ bestimmen.
$m = \frac{- 4}{- 6} = \frac{2}{3} \Rightarrow y = \frac{2}{3} \cdot x - 4 \Leftrightarrow \frac{2}{3} \cdot x - y = 4$
$m = \frac{- 4}{- 6} = \frac{2}{3} \Rightarrow y = \frac{2}{3} \cdot x - 4 \Leftrightarrow \frac{2}{3} \cdot x - y = 4$