Aufgaben zu linearen Gleichungen und Ungleichungen

…

Bestimme die Lösung der Gleichungen.

$\left(x-7\right)\left(x+3\right)=x\left(x+2\right)+5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen

$\displaystyle \left(x-7\right)\cdot\left(x+3\right)$	$=$	$\displaystyle x\left(x+2\right)+5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x^2+3x-7x-21$	$=$	$\displaystyle x^2+2x+5$	$\displaystyle -x^2\ -2x\ +21$
$\displaystyle -6x$	$=$	$\displaystyle 26$	$\displaystyle :(-6)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{26}{-6}$
	↓	Kürze mit $2$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{13}{3}$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-\frac{13}{3}\right\}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)=3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen

$\displaystyle \left(x-2\right)\left(3x-1\right)$	$=$	$\displaystyle 3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 3x^2-x-6x+2$	$=$	$\displaystyle \left(3x+3\right)x-10x-2$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 3x^2-x-6x+2$	$=$	$\displaystyle 3x^2+3x-10x-2$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 3x^2-7x+2$	$=$	$\displaystyle 3x^2-7x-2$	$\displaystyle -3x^{2\ }+7x$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle -2$

Du hast eine falsche Aussage erhalten. Die Gleichung ist für kein $x$ lösbar.

Die Lösungsmenge ist leer.

$\;\Rightarrow\;\mathbb{L}=\varnothing$

$\left[\left(x+3\right)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen

$\displaystyle \left[(x+3)\cdot2+4\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Multipliziere die Klammern aus. (hierbei haben runde Klammern eine höhere Priorität als Eckige)
$\displaystyle \left[2x+6+4\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Fasse in der eckigen Klammer zusammen
$\displaystyle \left[2x+10\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Löse die eckige Klammer auf
$\displaystyle 10x+50-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 50$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	gilt für jedes $x$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle G$
	↓	=> Alle Zahlen sind einsetzbar

$3\left(2x-0{,}5\right)=4-2\left(1-x\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen

$\displaystyle 3\left(2x-0{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle 4-2\left(1-x\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 6x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle 4-2+2x$
	↓	Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren: Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.
$\displaystyle 6x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle 2x+2$	$\displaystyle -2x\ +1{,}5$
	↓	Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 3{,}5$	$\displaystyle :4$
	↓	Durch die Zahl vor der Variablen dividieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5}{4}$
	↓	Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5\cdot2}{4\cdot2}=\frac{7}{8}$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{\frac{7}{8}\right\}$

$7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen

$\displaystyle 7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]$	$=$	$\displaystyle 2x-1-\left(1-4x\right)$
	↓	Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.
$\displaystyle 7-\left[-33+15x\right]$	$=$	$\displaystyle 2x-1-1+4x$
	↓	Eckige Klammern auflösen.
$\displaystyle 7+33-15x$	$=$	$\displaystyle 2x-1-1+4x$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 40-15x$	$=$	$\displaystyle -2+6x$	$\displaystyle +15x\ +2$
$\displaystyle 21x$	$=$	$\displaystyle 42$	$\displaystyle :21$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{2\right\}$

$-1\frac34-0{,}8\left(x-4\right)=-\frac23\left(\frac3{10}x-3\right)+0{,}5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen

$\displaystyle -1\frac{3}{4}-0{,}8\left(x-4\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\left(\frac{3}{10}x-3\right)+0{,}5$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle -1\frac{3}{4}-0{,}8x+3{,}2$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}x+2+0{,}5$
	↓	Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)
$\displaystyle 1{,}45-0{,}8x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}x+2{,}5$	$\displaystyle +\frac{1}{5}x\ -1{,}45$
	↓	Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.
$\displaystyle -0{,}8x+\frac{1}{5}x$	$=$	$\displaystyle -1{,}45+2{,}5$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle -0{,}6x$	$=$	$\displaystyle 1{,}05$	$\displaystyle :\left(-0{,}6\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1{,}75$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-1{,}75\right\}$

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