Schwierige gemischte Aufgaben zu Gleichungen

Finde heraus, wie gut du dich mit Gleichungen auskennst! Hier gibt es schwierige Übungsaufgaben rund um Gleichungen.

Löse folgende Gleichungen. Wenn eine Gleichung keine Lösung besitzt, schreibe "-" in das Eingabefeld.

$3\left(a-4\right)=1-\frac15\left(2-a\right)$

$2{,}6\left(x-1\right)=-6{,}5\left(x+1\right)-\frac12\left(x-7{,}8\right)$

$3\left(4x-3\right)=4\left(3x-4\right)$

$3\left(4x+4\right)=4\left(3-4x\right)$

2
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Finde die beiden Lösungen von $\left|x-3\right|=2$
Hierbei bezeichnet $\left|…\right|$ den Betrag, z.B. $\left|-7\right|=+7,\;\left|+7\right|=+7\;$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Lösung durch Umformen der Gleichung
Die Gleichung $|x-3|=2$ hat zwei Lösungen. Wenn der Term $x-3$ im Inneren der Betragsstriche positiv ist, bleibt der Wert positiv. Ist $x-3$ jedoch negativ, ändert der Betrag das Vorzeichen.
Also kannst du berechnen: Wann ist $x-3 =2$ ? Und wann ist $x-3 = -2$ ?
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x-3&=&2&|+3 \\x&=&2+3\\x&=&5\end{array}$
Wenn $x = 5$ ist, ist die Gleichung also erfüllt: $|5-3|=|2|=2$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x-3&=&-2&|+3 \\x&=&-2+3\\x&=&1\end{array}$
Für $x=1$ ist die Gleichung ebenfalls erfüllt, denn: $|1-3|=|-2|=2$
Lösung mithilfe einer Wertetabelle
Durch Pobieren kannst du ebenfalls die Lösung erhalten. Erstelle dir hierfür eine Wertetabelle.
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
$\vert x-3\vert$
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
Du erkennst in der Wertetabelle, dass $|x-3|=2$ für $x=1$ und $x=5$ gilt.
Lösung mithilfe eines Zahlenstrahls
Der Betrag $|x-3|$ gibt den Abstand der Zahlen $x$ und $3$ voneinander an.
Der Abstand zwischen $x$ und $3$ soll $2$ sein, da $|x-3|=2$ nach Angabe ist. Daher gibt es eine Zahl links der $3$ und eine Zahl rechts der $3$ , die zur $3$ den Abstand $2$ hat. Diese Zahlen sollen $x_1$ und $x_2$ heißen.
Um $x_1$ zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl $2$ vor und landest bei $3+2=5$ . Somit ist $x_1=5$ deine zweite Lösung.
Um $x_2$ zu bekommen gehst du auf dem Zahlenstrahl 2 zurück und landest bei $3-2=1$ . Somit ist $x_2=1$ deine zweite Lösung.
Kontrolle:
$|x_1-3|=|5-3|=|2|=2 \;\;\;\checkmark$
$|x_2-3|=|1-3|=|-2|=2 \;\;\;\checkmark$

x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$\vert x-3\vert$	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	1	2	3

Bestimme die Lösung der Gleichungen.

$\left(x-7\right)\left(x+3\right)=x\left(x+2\right)+5$

$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)=3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)$

$\left[\left(x+3\right)\cdot2+4\right]\cdot5-10x=50$

$3\left(2x-0{,}5\right)=4-2\left(1-x\right)$

$7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)$

$-1\frac34-0{,}8\left(x-4\right)=-\frac23\left(\frac3{10}x-3\right)+0{,}5$

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung.

\displaystyle \left(11{,}25+2\frac{2}{3}\right)-x=4{,}7-\frac{43}{12}

5
An einer Schule gibt es w weibliche und m männliche Lehrkräfte. Beschreibe in Worten, welche Aussage jeweils mit der Gleichung verbunden ist.
w + m = 65
w = m + 25
w - 5 = 2m
3m - 15 = w
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Es gibt insgesamt 65 Lehrkräfte.
Die Anzahl der männlichen Lehrkräfte ist um 25 Personen niedriger als die Anzahl der weiblichen Lehrkräfte.
Wenn man 5 von den Anzahl der weiblichen Lehrkräften abzieht, so erhält man die doppelte Anzahl der männlichen Lehrkräfte.
Das dreifache der Anzahl der männlichen Lehrkräfte ist um 15 Personnen größer als die Anzahl der weiblichen Lehrkräfte.

Löse folgende Gleichung.

$\frac{1}{3}x-\frac{3}{10}+\frac{4}{3}x=-x+\frac{7}{6}-\frac{5}{12}x+2$

7
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Löse folgende Formeln nach der angegebenden Variable auf.
1. $\displaystyle \frac{c}{b}$ $=$ $\displaystyle \frac{b^2}{b}\left(d+a\right)$ $\displaystyle \text{nach c}$
  
  Gleichungen umformen
  $\displaystyle \frac cb$ $=$ $\displaystyle \frac{b^2}b\left(d+a\right)$
  $\displaystyle \frac cb$ $=$ $\displaystyle \frac{b\cdot b}b\left(d+a\right)$
  b im Bruch der rechten Gleichung kürzen
  $\displaystyle \frac cb$ $=$ $\displaystyle b\left(d+a\right)$
  $\displaystyle c$ $=$ $\displaystyle b^2\left(d+a\right)$
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2. $\displaystyle \frac BG$ $=$ $\displaystyle \frac bg$ $\displaystyle \text{nach b}$
  
  Gleichungen umformen
  $\displaystyle \frac BG$ $=$ $\displaystyle \frac bg$
  $\left|\cdot g\right.$
  $\displaystyle \frac BG\cdot g$ $=$ $\displaystyle b$
  ↓
  Zusammenfassen
  $\displaystyle \frac{Bg}G$ $=$ $\displaystyle b$
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3. $\displaystyle A_1-A_2+A_3-A_4$ $=$ $\displaystyle A$ $\displaystyle \text{nach } A_3$
  
  Gleichungen umformen
  $\displaystyle A_1-A_2+A_3-A_4$ $=$ $\displaystyle A$
  $\left|+A_4\right.$
  $\displaystyle A_1-A_2+A_3$ $=$ $\displaystyle A + A_4$
  $\displaystyle A_1+A_3$ $=$ $\displaystyle A+A_4+A_2$
  $\left|-A_1\right.$
  $\displaystyle A_3$ $=$ $\displaystyle A+A_4+A_2-A_1$
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4. $\displaystyle W$ $=$ $\displaystyle cm\left(v_2-v_1\right)$ $\displaystyle \text{nach } v_1$
  
  Gleichungen umformen
  $\displaystyle W$ $=$ $\displaystyle cm\left(v_2-v_1\right)$
  Multipliziere die Klammer aus.
  $\displaystyle W$ $=$ $\displaystyle cm\cdot v_2-cm\cdot v_1$
  $|-cm\cdot v_2$
  $\displaystyle W-cm\cdot v_2$ $=$ $\displaystyle -cm\cdot v_1$
  $\left|:(-cm)\right.$
  $\displaystyle v_1$ $=$ $\displaystyle -\frac{W-cm\cdot v_2}{cm}$
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5. $\displaystyle \frac b{2r\mathrm\pi}$ $=$ $\displaystyle \frac\alpha{360^\circ}$ $\displaystyle \text{nach } r$
  
  Gleichungen umformen
  $\displaystyle \frac b{2r\mathrm\pi}$ $=$ $\displaystyle \frac\alpha{360^\circ}$
  $\left|\cdot2r\mathrm\pi\right.$
  $\displaystyle {\textstyle\mathrm b}$ $=$ $\displaystyle \frac\alpha{360^\circ}\cdot2r\mathrm\pi$
  $\displaystyle {\textstyle\mathrm b}$ $=$ $\displaystyle \frac{\alpha\cdot2r\mathrm\pi}{360^\circ}$
  $\left|\cdot360^\circ\right.$
  $\displaystyle \textstyle360^\circ\cdot\mathrm b$ $=$ $\displaystyle \mathrm a\cdot2\mathrm{rπ}$
  $\left|:a\right.$
  $\frac{360^\circ\cdot b}a=2r\mathrm\pi$
  $\displaystyle \frac{360^\circ\cdot b}a$ $=$ $\displaystyle 2r\mathrm\pi$
  $\left|:2\mathrm\pi\right.$
  $\displaystyle \frac{360^\circ\cdot b}{a\cdot2\mathrm\pi}$ $=$ $\displaystyle \mathrm r$
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6. $\displaystyle V$ $=$ $\displaystyle \frac{D-d}2\cdot\frac{L_1}L$ $\displaystyle \text{nach } d$
  
  Gleichungen umformen
  $\displaystyle V$ $=$ $\displaystyle \frac{D-d}2\cdot\frac{L_1}L$
  $\left|:\frac{L_1}L\right.$
  $\displaystyle \frac V{\displaystyle\frac{L_1}L}$ $=$ $\displaystyle \frac{D-d}2$
  Dividiere durch den Bruch (Multipliziere mit dem Kehrbruch).
  $\displaystyle V\cdot\frac L{L_1}$ $=$ $\displaystyle \frac{D-d}2$
  $\left|\cdot2\right.$
  $\displaystyle V\cdot\frac L{L_1}\cdot2$ $=$ $\displaystyle D-d$
  $\left|-D\right.$
  $\displaystyle V\cdot\frac L{L_1}\cdot2-D$ $=$ $\displaystyle -d$
  $\left|\cdot(-1)\right.$
  $\displaystyle d$ $=$ $\displaystyle D-\frac{V\cdot L\cdot2}{L_1}$
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7. $\displaystyle A$ $=$ $\displaystyle \frac{a+c}2\cdot h-\mathrm{πr}^2$ $\displaystyle \text{nach } c$
  
  Gleichungen umformen
  $\displaystyle A$ $=$ $\displaystyle \frac{a+c}2\cdot h-\mathrm{πr}^2$
  $\left|+\mathrm{πr}^2\right.$
  $\displaystyle A+\mathrm{πr}^2$ $=$ $\displaystyle \frac{a+c}2\cdot h$
  $\left|:h\right.$
  $\displaystyle \frac{A+\mathrm{πr}^2}h$ $=$ $\displaystyle \frac{a+c}2$
  $\left|\cdot2\right.$
  $\displaystyle \frac{A+\mathrm{πr}^2}h\cdot2$ $=$ $\displaystyle a+c$
  $\displaystyle \frac{2A+2\mathrm{πr}^2}h-a$ $=$ $\displaystyle c$
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Forme so um, dass $r^2$ auf der linken Seite steht:

$A=\frac{a+c}2\cdot h-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$

Stelle folgende Formeln nach a um.

$\mathrm a\cdot\mathrm k=\mathrm s$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
$\displaystyle a\cdot k$ $=$ $\displaystyle s$ $\displaystyle :k$
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle \frac{s}{k}$
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$\frac{\mathrm a}{\mathrm t}=\mathrm j$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
$\displaystyle \frac{a}{t}$ $=$ $\displaystyle j$ $\displaystyle \cdot t$
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle j\cdot t$
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$\frac{\mathrm w}{\mathrm a}=\mathrm v$

$\mathrm a\cdot\mathrm c=\mathrm b$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
$\displaystyle a\cdot c$ $=$ $\displaystyle b$ $\displaystyle :c$
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
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$\frac{\mathrm a}{\mathrm b}=\mathrm c$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
$\displaystyle \frac{a}{b}$ $=$ $\displaystyle c$ $\displaystyle \cdot b$
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle c\cdot b$
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$\frac{\mathrm b}{\mathrm a}=\mathrm c$

Stelle nach a, dann nach b dann nach c und dann wieder nach a um, so dass du am Ende die gleiche Gleichung wie am Anfang hast.

$\frac{\mathrm b}{\mathrm a}=\mathrm c$

$\mathrm a\cdot\mathrm b=\mathrm c$

11
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen.
Wenn eine Gleichung mehrere Lösungen hat, zum Beispiel $L=\{2;3;4\}$ , dann schreibt "2;3;4" in das Eingabefeld.
1. $(x+2)\cdot(x-5)=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
  $(x+2) \cdot (x-5)=0$
  Wende den Satz vom Nullprodukt an.
  $x+2=0$ und/oder $x-5=0$
  $x=-2$ und/oder $x=5$
  $\mathrm{L}=\{-2;5\}$
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2. $x^3-x=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
  $\displaystyle x^3-x$ $=$ $\displaystyle 0$
  ↓
  Klammere $x$ aus.
  $\displaystyle x\cdot(x^2-1)$ $=$ $\displaystyle 0$
  ↓
  Wende den Satz vom Nullprodukt an.
  $x=0$ und/oder $x^2-1=0$
  Löse die zweite Gleichung, indem du sie nach $x^2$ auflöst.
  $x=0$ und/oder $x^2=1$
  Ziehe die Wurzel.
  $x=0$ und/oder $x=\pm1$
  $\mathrm{L}=\{-1;0;1\}$
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3. $(x^2+1)\cdot(x-42)=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz vom Nullprodukt
  $(x^2+1)\cdot(x-42)=0$
  Wende den Satz vom Nullprodukt an.
  $x^2+1=0$ und/oder $x-42=0$
  Löse die linke Seite nach $x^2$ auf.
  $x^2=-1$ und/oder $x-42=0$
  Quadratzahlen sind nicht negativ, weshalb die linke Gleichung nicht lösbar ist.
  $x=42$
  $\mathrm{L}=\{42\}$
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Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.

$\dfrac1x+2=\dfrac9x$

$\dfrac{2x+4}8=\dfrac{8x-7}{20}$

$\dfrac29\cdot\dfrac x{11}=\dfrac{27}{22}$

$\frac{15}x\cdot\frac{12}{21}=6$

13
Wähle die sinnvollste Grundmenge für die Sachsituation aus.
Du musst die Aufgaben nicht lösen!
1. Du möchstest bestimmen, nach wie vielen Stunden eine 20 cm hohe Kerze komplett abgebrannt ist, wenn sie pro Stunde 12 mm abbrennt.
  $G=\mathbb Q$
  $G=\mathbb N$
  $G=\mathbb Q^+_0$
  $G=\{1{,}2,3{,}4,5{,}6,7{,}8,9{,}10\}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundmenge von Gleichungen
  Da deine Variable für eine Zeiteinheit stehen wird, machen negative Zahlen keinen Sinn. Das schließt $G=\mathbb Q$ aus.
  Zeiteinheiten sind allerdings nicht immer ganzzahlig, sondern können auch durch Brüche oder Dezimalzahlen dargestellt werden. Deshalb eignet sich - ohne die Lösung berechnet zu haben - nur die Grundmenge $G=\mathbb Q^+_0$ .
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2. Die Hündin Loulou hat Welpen. Der Vater sagt seiner Tochter aber nicht wie viele, sondern gibt ihr ein Matherätsel, dessen Lösung der Anzahl der Hundewelpen entspricht
  $G=\mathbb Q$
  $G= \mathbb N_0$
  $G=\mathbb Z$
  $G= \mathbb Q^+$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundmenge von Gleichungen
  Du kannst davon ausgehen, dass auch sehr kleine Hunde nicht als halbe Hunde gezählt werden. Deshalb macht es keinen Sinn, Dezimalzahlen mit einzubeziehen.
  Außerdem sind Anzahlen immer positiv. Es werden nach der Geburt nicht weniger Welpen durch das Wohnzimmer springen als vor der Geburt.
  Deshalb ist die sinnvollste Grundmenge $G=\mathbb N_0$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 3(a-4)$	$=$	$\displaystyle 1-\frac{1}{5}(2-a)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 3a-12$	$=$	$\displaystyle 1-\frac25+\frac15a$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 3a-12$	$=$	$\displaystyle \frac35+\frac15a$	$\displaystyle -\frac15a+12$
$\displaystyle 3a-\frac{1}5a$	$=$	$\displaystyle \frac{3}5+12$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \frac{14}5a$	$=$	$\displaystyle \frac{63}5$	$\displaystyle :\frac{14}5$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac92=4{,}5$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{4{,}5\}$

$\displaystyle 2{,}6\left(x-1\right)$	$=$	$\displaystyle -6{,}5(x+1)-\frac12\left(x-7{,}8\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2{,}6x-2{,}6$	$=$	$\displaystyle -6{,}5x-6{,}5-\frac{1}{2}x+3{,}9$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2{,}6x-2{,}6$	$=$	$\displaystyle -7x-2{,}6$	$\displaystyle +7x+2{,}6$
$\displaystyle 9{,}6x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :9{,}6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \{0\}$

$\displaystyle 3(4x-3)$	$=$	$\displaystyle 4(3x-4)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 12x-9$	$=$	$\displaystyle 12x-16$	$\displaystyle -12x$
$\displaystyle -9$	$=$	$\displaystyle -16$
	↓	Ist nicht lösbar.
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \emptyset$

$\displaystyle 3(4x+4)$	$=$	$\displaystyle 4(3-4x)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 12x+12$	$=$	$\displaystyle 12-16x$	$\displaystyle +16x-12$
$\displaystyle 28x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :28$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{0\right\}$

$\displaystyle \left(x-7\right)\cdot\left(x+3\right)$	$=$	$\displaystyle x\left(x+2\right)+5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x^2+3x-7x-21$	$=$	$\displaystyle x^2+2x+5$	$\displaystyle -x^2\ -2x\ +21$
$\displaystyle -6x$	$=$	$\displaystyle 26$	$\displaystyle :(-6)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{26}{-6}$
	↓	Kürze mit $2$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{13}{3}$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-\frac{13}{3}\right\}$

$\displaystyle \left(x-2\right)\left(3x-1\right)$	$=$	$\displaystyle 3\left(x+1\right)x-2\left(5x+1\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 3x^2-x-6x+2$	$=$	$\displaystyle \left(3x+3\right)x-10x-2$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 3x^2-x-6x+2$	$=$	$\displaystyle 3x^2+3x-10x-2$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 3x^2-7x+2$	$=$	$\displaystyle 3x^2-7x-2$	$\displaystyle -3x^{2\ }+7x$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle \left[(x+3)\cdot2+4\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Multipliziere die Klammern aus. (hierbei haben runde Klammern eine höhere Priorität als Eckige)
$\displaystyle \left[2x+6+4\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Fasse in der eckigen Klammer zusammen
$\displaystyle \left[2x+10\right]\cdot5-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Löse die eckige Klammer auf
$\displaystyle 10x+50-10x$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 50$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	gilt für jedes $x$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle G$
	↓	=> Alle Zahlen sind einsetzbar

$\displaystyle 3\left(2x-0{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle 4-2\left(1-x\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 6x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle 4-2+2x$
	↓	Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren: Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.
$\displaystyle 6x-1{,}5$	$=$	$\displaystyle 2x+2$	$\displaystyle -2x\ +1{,}5$
	↓	Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 3{,}5$	$\displaystyle :4$
	↓	Durch die Zahl vor der Variablen dividieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5}{4}$
	↓	Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3{,}5\cdot2}{4\cdot2}=\frac{7}{8}$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{\frac{7}{8}\right\}$

$\displaystyle 7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]$	$=$	$\displaystyle 2x-1-\left(1-4x\right)$
	↓	Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.
$\displaystyle 7-\left[-33+15x\right]$	$=$	$\displaystyle 2x-1-1+4x$
	↓	Eckige Klammern auflösen.
$\displaystyle 7+33-15x$	$=$	$\displaystyle 2x-1-1+4x$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 40-15x$	$=$	$\displaystyle -2+6x$	$\displaystyle +15x\ +2$
$\displaystyle 21x$	$=$	$\displaystyle 42$	$\displaystyle :21$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{2\right\}$

$\displaystyle -1\frac{3}{4}-0{,}8\left(x-4\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\left(\frac{3}{10}x-3\right)+0{,}5$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle -1\frac{3}{4}-0{,}8x+3{,}2$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}x+2+0{,}5$
	↓	Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)
$\displaystyle 1{,}45-0{,}8x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{5}x+2{,}5$	$\displaystyle +\frac{1}{5}x\ -1{,}45$
	↓	Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.
$\displaystyle -0{,}8x+\frac{1}{5}x$	$=$	$\displaystyle -1{,}45+2{,}5$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle -0{,}6x$	$=$	$\displaystyle 1{,}05$	$\displaystyle :\left(-0{,}6\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1{,}75$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{-1{,}75\right\}$

$\displaystyle \left(11{,}25\ +\ 2\ \frac{2}{3}\right)-x$	$=$	$\displaystyle 4{,}7-\frac{43}{12}$
	↓	Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um.
$\displaystyle \frac{45}{4}+\frac{8}{3}-x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}$	$\displaystyle -\ \frac{8}{3}$
	↓	Bringe alle Zahlen auf eine Seite und $x$ auf die andere.
$\displaystyle \frac{45}{4}-x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}-\frac{8}{3}$	$\displaystyle -\frac{45}{4}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{47}{10}-\frac{43}{12}-\frac{8}{3}-\frac{45}{4}$
	↓	Bilde den Hauptnenner aller Brüche. Dieser ist hier 60.
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{282}{60}-\frac{215}{60}-\frac{160}{60}-\frac{675}{60}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \frac{282-215-160-675}{60}$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -\frac{768}{60}$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{768}{60}$
	↓	Kürze den Bruch mit 12.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{64}{5}$

$\displaystyle \frac{1}{3}x-\frac{3}{10}+\frac{4}{3}x$	$=$	$\displaystyle -x+\frac{7}{6}-\frac{5}{12}x+2$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle \dfrac53x -\dfrac{3}{10}$	$=$	$\displaystyle -x + \dfrac76 - \dfrac{5}{12}x + 2$	$\displaystyle \cdot \text{HN } 60$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner 60.
$\displaystyle 100x -18$	$=$	$\displaystyle -60x+70-25x+120$
	↓	Fasse die rechte Seite zusammen.
$\displaystyle 100x -18$	$=$	$\displaystyle -85x+190$	$\displaystyle + 85x+18$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 185x$	$=$	$\displaystyle 208$	$\displaystyle :185$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{208}{185}$

$\displaystyle \frac BG\cdot g$	$=$	$\displaystyle b$
	↓	Zusammenfassen

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{a+c}{2}\cdot h-\mathrm{\pi }\cdot \mathrm{r}^2$
	↓	Multipliziere
$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{h\cdot\left(a+c\right)}2-\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$	$\displaystyle +\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$
$\displaystyle A+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm h\cdot(\mathrm a+\mathrm c)}2$	$\displaystyle -A$
$\displaystyle \mathrm{\pi}\cdot\mathrm{r}^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha + hc}2-A$	$\displaystyle \pi$
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{ha+hc}{2}-A}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Bringe die Brüche auf den Hauptnenner
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(\frac{ha+hc}{2}-\frac{2A}{2}\right)}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen. Durch eine Zahl zu dividieren bedeutet mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha+hc-2A}{2}\cdot\frac{1}{\mathrm{\pi}}$
	↓	Fasse die Brüche zusammen
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{ha+hc-2A}{2\mathrm{\pi}}$

$\displaystyle a\cdot k$	$=$	$\displaystyle s$	$\displaystyle :k$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{s}{k}$

$\displaystyle \frac{a}{t}$	$=$	$\displaystyle j$	$\displaystyle \cdot t$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle j\cdot t$

$\displaystyle \frac{w}{a}$	$=$	$\displaystyle v$	$\displaystyle \cdot a$
$\displaystyle w$	$=$	$\displaystyle v\cdot a$	$\displaystyle :v$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{w}{v}$

$\displaystyle a\cdot c$	$=$	$\displaystyle b$	$\displaystyle :c$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{b}{c}$

$\displaystyle \frac{a}{b}$	$=$	$\displaystyle c$	$\displaystyle \cdot b$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle c\cdot b$

$\displaystyle \frac{b}{a}$	$=$	$\displaystyle c$	$\displaystyle \cdot a$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle c\cdot a$	$\displaystyle :c$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{b}{c}$

$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{b}{c}$	$\displaystyle \cdot c$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle a\cdot c$

$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle a\cdot c$	$\displaystyle :a$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \frac{b}{a}$

$\displaystyle a\cdot b$	$=$	$\displaystyle c$	$\displaystyle :b$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{c}{b}$

$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{c}{a}$	$\displaystyle \cdot a$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle b\cdot a$

$\displaystyle x^3-x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle x\cdot(x^2-1)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende den Satz vom Nullprodukt an.

Schwierige gemischte Aufgaben zu Gleichungen

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Lösung durch Umformen der Gleichung

Lösung mithilfe einer Wertetabelle

Lösung mithilfe eines Zahlenstrahls

Kontrolle:

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Nach $a$ auflösen

Nach $b$ auflösen

Nach $c$ auflösen

Wieder nach $a$ auflösen

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Nach $c$ auflösen

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$\displaystyle \dfrac1x + 2$	$=$	$\displaystyle \dfrac9x$	$\displaystyle -\dfrac1x$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \dfrac8x$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle \dfrac{2x+4}8$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8x-7}{20}$	$\displaystyle \cdot 20; \cdot 8$
$\displaystyle 40x+80$	$=$	$\displaystyle 64x-56$	$\displaystyle +56 -40x$
$\displaystyle 136$	$=$	$\displaystyle 24x$	$\displaystyle :24$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{17}{3}$

$\displaystyle \dfrac29\cdot\dfrac x{11}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{27}{22}$
	↓	Brüche auf der linken Seite multiplizieren
$\displaystyle \dfrac{2x}{99}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{27}{22}$	$\displaystyle \cdot 99; \cdot 22$
$\displaystyle 44x$	$=$	$\displaystyle 27\cdot 99$	$\displaystyle :44$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 60{,}75$

Als erstes multiplizierst du mit $x$ , um das aus dem Nenner zu bekommen:
	↓
$\displaystyle \frac{15}{x}\cdot\frac{12}{21}$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle \frac{15\cdot 12}{21}$	$=$	$\displaystyle 6x$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle \frac{15\cdot 12}{21\cdot6}$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	vertausche die Seiten und kürze 12 und 6 mit 6 und dann 15 und 21 mit 3
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{7}$