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Kurs

Erweitern und Kürzen von Brüchen

1 Übersicht

Inhalt des Kurses

Ziel dieses Kurses ist es, das Erweitern und Kürzen von Brüchen kennenzulernen und für den Größenvergleich zu verwenden.

Vorkenntnisse

Du solltest wissen, was Brüche sind.

Kursdauer

Der Kurs dauert ungefähr 1,5 Stunden (Wenn du die Übungsaufgaben alle selbstständig lösen möchtest).

2 Verschiedene Brüche mit dem gleichen Wert

Aufgabe

Die Pizzabäcker Marco und Giovanni backen gleich große Pizzen. Marco teilt seine Pizza in 6 gleich große Stücke. Pizzabäcker Giovanni dagegen teilt seine Pizza in nur 4 Stücke.

Du kaufst bei Marco 3 Stück Pizza und dein Freund bei Giovanni 2 Stück Pizza. Wer von euch beiden hat mehr Pizza bekommen?

Schau genau hin und vergleiche die Stücke. Was fällt dir auf?

Pizza

Richtig! Ihr habt beide gleich viel Pizza. Ist das nicht erstaunlich? Du hast 36 Pizza gekauft und dein Freund 24 und trotzdem habt ihr gleich viel Pizza.

Schauen wir uns dazu ein weiteres Beispiel an

Welcher Bruchteil ist rot? Schreibe als Bruch.

Quadrat
Quadrat
Quadrat

Ist dir aufgefallen, dass die rote Fläche immer gleich groß ist und du trotzdem unterschiedliche Brüche verwendet hast, um sie zu beschreiben?

Zusammenfassung

Um ein und denselben Bruchteil darzustellen, können wir verschiedene Brüche verwenden. Andersherum stellen manchmal verschiedenen Brüche den gleichen Bruchteil dar.

Was es damit genauer auf sich hat, lernst du in den folgenden Kapiteln.

3 Was heißt Erweitern?

Im vorigen Abschnitt hast du kennengelernt, dass zwei Brüche den gleichen Bruchteil beschreiben können. Was das bedeutet, schauen wir uns nun genauer an.

Wie sieht das anschaulich aus?

Der hier blau gefärbte Bruchteil ist 13.

Ein Drittel

Wenn wir jeden Teil einmal halbieren, erhalten wir 26.

Zwei Sechstel

Unterteilen wir jeden Teil noch einmal, dann sind es 412.

Vier Zwölftel

Anschaulich ist dadurch klar, dass gilt:

13=26=412

Was bedeutet das mathematisch?

Wenn wir bei dem Bruch 13 den Zähler (1) und den Nenner (3) mit der Zahl 2 multiplizieren, erhalten wir den Bruch 26:

13=1232=26

Genauso erhalten wir 412, indem wir bei 26 den Zähler (2) und Nenner (6) jeweils mit 2 multiplizieren:

26=2262=412

Formal können wir das schreiben als:

13=226=2412

Dieses Vorgehen nennt man "Erweitern".

Anschaulich betrachtet bedeutet "Erweitern" eine Verfeinerung der Unterteilung,

mathematisch die Multiplikation von Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl.

Wichtig: Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht!

Beispiel

Erweitere den Bruch 25 mit 3.

Anschaulich:

Teile alle 5 Teile in jeweils 3 gleich große Teile.

erweitern

25=615

Mathematisch:

Multipliziere Zähler und Nenner mit der Zahl 3.

25=3615 oder 25=2353=615

Übungsaufgaben

1) Erweitere 56 mit 2.

2) Erweitere 13 mit 5.

3) Erweitere die drei Brüche so, dass sie alle den Nenner 40 haben.

18,25,34

4) 213=852 mit welcher Zahl wurde hier erweitert?

4 Was heißt Kürzen?

Im vorigen Kapitel hast du gelernt, dass sich Brüche erweitern lassen, indem man die Bruchteile in gleich große Teilstücke unterteilt bzw. Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert.

Wir können aber umgekehrt Teilstücke zusammenfassen bzw. Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren.

Beispiel

48 des Rechtecks sind blau gefärbt.

kürzen1

Wenn wir jeweils zwei nebeneinanderliegende Felder zusammenfassen, lässt sich der blau gefärbte Bruchteil des Rechtecks schreiben als 24 schreiben.

kürzen

Fassen wir nochmals jeweils 2 übereinander Felder zusammen, erhalten wir den Bruch 12.

kürzen

Anschaulich ist dadurch auch klar, dass gilt:

48=24=12

Anstatt wie beim Erweitern Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren, können wir also auch Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren.

Hier gilt: 4:28:2=24 und 2:24:2=12

Formal können wir das schreiben als:

48=:224=:212

Dieses Vorgehen nennt man "Kürzen".

Anschaulich betrachtet bedeutet "Kürzen" eine Vergröberung der Unterteilung.

Mathematisch die Division von Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl.

Wichtig: Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht!

Beispiele

Kürze den Bruch 39 mit der Zahl 3.

Anschaulich:

Fasse jeweils 3 Teile zusammen

kürzen

39=13

Mathematisch:

Dividiere Zähler und Nenner durch die Zahl 3

39=313 oder 39=3:39:3=13

Übungsaufgaben

1)

Laden

2)

Laden

3)

Laden

5 Wie kann man die Größe von Brüchen vergleichen? I

Wir haben in den vorherigen Kapiteln festgestellt, dass wir Brüche auf dem Zahlenstrahl einzeichnen können. Brüche beschreiben also immer einen Zahlenwert. Wir wollen uns nun anschauen, wie wir diesen Zahlenwert verschiedener Brüche vergleichen können. Schauen wir uns dazu den Bruchteil der roten Teile der beiden folgenden Kreise an:

11/12 als Kreis
7/12 als Kreis

Der erste Kreis beschreibt den Bruchteil 1112, der zweite 712. Der erste Bruch ist größer, da man ja mehr Teile (oder Stücke einer Pizza) hat. Es gilt also: 1112>712.

Merke: Vergleicht man zwei Brüche mit gleichem Nenner, dann ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer.

Was passiert aber jetzt, wenn die Nenner nicht gleich sind? Betrachten wir dazu den Bruchteil der roten Teile der folgenden Kreise:

2/12 als Kreis
2/5 als Kreis
2/3 als Kreis

Diesmal vergleichen wir also die Brüche 212, 25 und 23. Der dritte Bruch ist der größte, da die beiden Teile größer sind: 23>25>212. In je mehr Stücke wir eine Pizza unterteilen, desto kleiner werden die Stücke.

Merke: Vergleicht man zwei Brüche mit gleichem Zähler, dann ist der Bruch mit kleinerem Nenner größer.

Wir haben in diesem Kapitel gelernt, wie man Brüche vergleicht, deren Nenner oder Zähler gleich sind. Im nächsten Kapitel werden wir uns anschauen, was passiert, wenn weder Zähler noch Nenner gleich sind.

Welcher der beiden Brüche ist größer?

58 oder 18?

317 oder 717?

310 oder 34?

712 oder 718?

6 Wie kann man die Größen von Brüchen vergleichen? II

Wie können wir die Brüche 18, 25 und 34 vergleichen? Unsere Merkregeln aus dem vorherigen Abschnitt helfen hier nicht weiter: Weder stimmen die Zähler noch die Nenner überein. Wir können jedoch die Nenner durch Erweitern und Kürzen anpassen. Können wir dabei die Brüche so erweitern, dass sie zum Schluss alle denselben Nenner haben? Wir haben in einer vorherigen Übungsaufgabe gesehen, dass wir in diesem Fall alle Brüche auf den gemeinsamen Nenner 40 erweitern können:

18=540

25=1640

34=3040

Nach unserer Merkregel für Brüche mit selbem Nenner folgt also: 3040>1640>540 oder 34>25>18.

Dieses Vorgehen können wir auf irgendwelche Brüche anwenden: Wollen wir Brüche vergleichen, die weder den gleichen Zähler noch Nenner haben, so müssen wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, genannt Hauptnenner, erweitern. Dazu bestimmt man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der auftretenden Nenner und erweitert alle Brüche auf dieses Vielfache. Im obigen Beispiel war dies 40, und wir haben die Brüche mit 5, 8 bzw. 10 erweitert.

Merke: Brüche kann man nur dann vergleichen, wenn entweder die Zähler oder Nenner gleich sind.

Falls die Nenner gleich sind, so ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer.

Falls die Zähler gleich sind, so ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.

Stimmen weder Zähler noch Nenner überein, so bringt man die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, meistens durch Erweitern.

Welche der beiden Brüche ist größer?

35 oder 25?

23 oder 27?

512 oder 34?

7 Übungsaufgaben

Gemischte Zahlen

Rechne die gemischte Zahl in einen Bruch um

213

Wandle den Bruch in eine gemischte Zahl um

875

Erweitern und Kürzen

Mit welcher Zahl wurde erweitert?

17=535

211=1477

Erweitere 37 mit der Zahl 4

Erweitere schrittweise

23=6=12=24

Mit welcher Zahl wurde gekürzt?

5481=69

3057=1019

Suche die Kürzungszahl und bestimme den fehlenden Wert

1535=7

Größenvergleich von Brüchen

Ordne die folgenden Brüche der Größe nach (fange mit dem kleinsten Bruch an)

23,26,24,212

512,212,712,112,1112

35,12,710

Welche der beiden Brüche ist größer?

23 oder 12?

312 oder 14?

712 oder 23?

23 oder 46?


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CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?