Inhalt des Kurses

Ziel dieses Kurses ist es, das Erweitern und Kürzen von Brüchen kennenzulernen und für den Größenvergleich zu verwenden.

Vorkenntnisse

Du solltest wissen, was Brüche sind.

Kursdauer

Der Kurs dauert ungefähr 1,5 Stunden (Wenn du die Übungsaufgaben alle selbstständig lösen möchtest).

Aufgabe

Die Pizzabäcker Marco und Giovanni backen gleich große Pizzen. Marco teilt seine Pizza in 6 gleich große Stücke. Pizzabäcker Giovanni dagegen teilt seine Pizza in nur 4 Stücke.

Du kaufst bei Marco 3 Stück Pizza und dein Freund bei Giovanni 2 Stück Pizza. Wer von euch beiden hat mehr Pizza bekommen?

Schau genau hin und vergleiche die Stücke. Was fällt dir auf?

Richtig! Ihr habt beide gleich viel Pizza. Ist das nicht erstaunlich? Du hast $\frac{3}{6}\backslash frac36$ Pizza gekauft und dein Freund $\frac{2}{4}\backslash frac24$ und trotzdem habt ihr gleich viel Pizza.

Schauen wir uns dazu ein weiteres Beispiel an

Welcher Bruchteil ist rot? Schreibe als Bruch.

Ist dir aufgefallen, dass die rote Fläche immer gleich groß ist und du trotzdem unterschiedliche Brüche verwendet hast, um sie zu beschreiben?

Zusammenfassung

Um ein und denselben Bruchteil darzustellen, können wir verschiedene Brüche verwenden. Andersherum stellen manchmal verschiedenen Brüche den gleichen Bruchteil dar.

Was es damit genauer auf sich hat, lernst du in den folgenden Kapiteln.

Im vorigen Abschnitt hast du kennengelernt, dass zwei Brüche den gleichen Bruchteil beschreiben können. Was das bedeutet, schauen wir uns nun genauer an.

Wie sieht das anschaulich aus?

Der hier blau gefärbte Bruchteil ist ${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac\; 13$.

Wenn wir jeden Teil einmal halbieren, erhalten wir ${\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash dfrac\; 26$.

Unterteilen wir jeden Teil noch einmal, dann sind es ${\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac4\{12\}$.

Anschaulich ist dadurch klar, dass gilt:

${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac13=\backslash dfrac26=\backslash dfrac4\{12\}$

Was bedeutet das mathematisch?

Wenn wir bei dem Bruch ${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac13$ den Zähler (1) und den Nenner (3) mit der Zahl 2 multiplizieren, erhalten wir den Bruch ${\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash dfrac26$:

Genauso erhalten wir ${\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac4\{12\}$, indem wir bei ${\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash dfrac26$ den Zähler (2) und Nenner (6) jeweils mit 2 multiplizieren:

Formal können wir das schreiben als:

${\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{2}{6}}{\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac13\backslash overset\{\backslash cdot2\}=\backslash dfrac26\backslash overset\{\backslash cdot2\}=\backslash dfrac4\{12\}$

Dieses Vorgehen nennt man "Erweitern".

Beispiel

Erweitere den Bruch $\frac{2}{5}\backslash frac25$ mit 3.

Anschaulich:

Teile alle 5 Teile in jeweils 3 gleich große Teile.

$\Rightarrow \frac{2}{5}=\frac{6}{15}\backslash Rightarrow\; \backslash frac25=\backslash frac6\{15\}$

Mathematisch:

Multipliziere Zähler und Nenner mit der Zahl 3.

${\displaystyle \frac{2}{5}}{\displaystyle \frac{6}{15}}\backslash dfrac25\backslash overset3=\backslash dfrac6\{15\}\backslash ;$ oder ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{2\cdot 3}{5\cdot 3}}={\displaystyle \frac{6}{15}}\backslash ;\backslash dfrac25=\backslash dfrac\{2\backslash cdot3\}\{5\backslash cdot3\}=\backslash dfrac6\{15\}$

Übungsaufgaben

1) Erweitere $\frac{5}{6}\backslash frac56$ mit 2.

2) Erweitere $\frac{1}{3}\backslash frac13$ mit 5.

3) Erweitere die drei Brüche so, dass sie alle den Nenner 40 haben.

4) $\frac{2}{13}=\frac{8}{52}\backslash frac2\{13\}=\backslash frac8\{52\}$ mit welcher Zahl wurde hier erweitert?

Im vorigen Kapitel hast du gelernt, dass sich Brüche erweitern lassen, indem man die Bruchteile in gleich große Teilstücke unterteilt bzw. Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert.

Wir können aber umgekehrt Teilstücke zusammenfassen bzw. Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren.

Beispiel

${\displaystyle \frac{4}{8}}\backslash dfrac48$ des Rechtecks sind blau gefärbt.

Wenn wir jeweils zwei nebeneinanderliegende Felder zusammenfassen, lässt sich der blau gefärbte Bruchteil des Rechtecks schreiben als ${\displaystyle \frac{2}{4}}\backslash dfrac24$ schreiben.

Fassen wir nochmals jeweils 2 übereinander Felder zusammen, erhalten wir den Bruch ${\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash dfrac12$.

Anschaulich ist dadurch auch klar, dass gilt:

${\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash dfrac48=\backslash dfrac24=\backslash dfrac12$

Anstatt wie beim Erweitern Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren, können wir also auch Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren.

Hier gilt: ${\displaystyle \frac{4:2}{8:2}}={\displaystyle \frac{2}{4}}\backslash dfrac\{4:2\}\{8:2\}=\backslash dfrac24$ und ${\displaystyle \frac{2:2}{4:2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash dfrac\{2:2\}\{4:2\}=\backslash dfrac12$

Formal können wir das schreiben als:

${\displaystyle \frac{4}{8}}{\displaystyle \frac{2}{4}}{\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash dfrac48\backslash overset\{:2\}=\backslash dfrac24\backslash overset\{:2\}=\backslash dfrac12$

Dieses Vorgehen nennt man "Kürzen".

Mathematisch die Division von Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl.

Beispiele

Kürze den Bruch ${\displaystyle \frac{3}{9}}\backslash dfrac39$ mit der Zahl 3.

Anschaulich:

Fasse jeweils 3 Teile zusammen

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash Rightarrow\backslash dfrac39=\backslash dfrac13$

Mathematisch:

Dividiere Zähler und Nenner durch die Zahl 3

${\displaystyle \frac{3}{9}}{\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac39\backslash overset3=\backslash dfrac13\backslash ;$ oder ${\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{3:3}{9:3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash ;\backslash dfrac39=\backslash dfrac\{3:3\}\{9:3\}=\backslash dfrac13$

Übungsaufgaben

1)

2)

3)

Wir haben in den vorherigen Kapiteln festgestellt, dass wir Brüche auf dem Zahlenstrahl einzeichnen können. Brüche beschreiben also immer einen Zahlenwert. Wir wollen uns nun anschauen, wie wir diesen Zahlenwert verschiedener Brüche vergleichen können. Schauen wir uns dazu den Bruchteil der roten Teile der beiden folgenden Kreise an:

Der erste Kreis beschreibt den Bruchteil $\frac{11}{12}\backslash frac\{11\}\{12\}$, der zweite $\frac{7}{12}\backslash frac\{7\}\{12\}$. Der erste Bruch ist größer, da man ja mehr Teile (oder Stücke einer Pizza) hat. Es gilt also: $\frac{11}{12}>\frac{7}{12}\backslash frac\{11\}\{12\}\; >\; \backslash frac\{7\}\{12\}$.

Was passiert aber jetzt, wenn die Nenner nicht gleich sind? Betrachten wir dazu den Bruchteil der roten Teile der folgenden Kreise:

Diesmal vergleichen wir also die Brüche $\frac{2}{12}\backslash frac\{2\}\{12\}$, $\frac{2}{5}\backslash frac\{2\}\{5\}$ und $\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$. Der dritte Bruch ist der größte, da die beiden Teile größer sind: $\frac{2}{3}>\frac{2}{5}>\frac{2}{12}\backslash frac\{2\}\{3\}\; >\; \backslash frac\{2\}\{5\}\; >\; \backslash frac\{2\}\{12\}$. In je mehr Stücke wir eine Pizza unterteilen, desto kleiner werden die Stücke.

Wir haben in diesem Kapitel gelernt, wie man Brüche vergleicht, deren Nenner oder Zähler gleich sind. Im nächsten Kapitel werden wir uns anschauen, was passiert, wenn weder Zähler noch Nenner gleich sind.

Welcher der beiden Brüche ist größer?

$\frac{5}{8}\backslash frac\{5\}\{8\}$ oder $\frac{1}{8}\backslash frac\{1\}\{8\}$?

$\frac{3}{17}\backslash frac\{3\}\{17\}$ oder $\frac{7}{17}\backslash frac\{7\}\{17\}$?

$\frac{3}{10}\backslash frac\{3\}\{10\}$ oder $\frac{3}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}$?

$\frac{7}{12}\backslash frac\{7\}\{12\}$ oder $\frac{7}{18}\backslash frac\{7\}\{18\}$?

Wie können wir die Brüche $\frac{1}{8}\backslash frac\{1\}\{8\}$, $\frac{2}{5}\backslash frac\{2\}\{5\}$ und $\frac{3}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}$ vergleichen? Unsere Merkregeln aus dem vorherigen Abschnitt helfen hier nicht weiter: Weder stimmen die Zähler noch die Nenner überein. Wir können jedoch die Nenner durch Erweitern und Kürzen anpassen. Können wir dabei die Brüche so erweitern, dass sie zum Schluss alle denselben Nenner haben? Wir haben in einer vorherigen Übungsaufgabe gesehen, dass wir in diesem Fall alle Brüche auf den gemeinsamen Nenner 40 erweitern können:

$\frac{1}{8}=\frac{5}{40}\backslash frac\{1\}\{8\}\; =\; \backslash frac\{5\}\{40\}$

$\frac{2}{5}=\frac{16}{40}\backslash frac\{2\}\{5\}\; =\; \backslash frac\{16\}\{40\}$

$\frac{3}{4}=\frac{30}{40}\backslash frac\{3\}\{4\}\; =\; \backslash frac\{30\}\{40\}$

Nach unserer Merkregel für Brüche mit selbem Nenner folgt also: $\frac{30}{40}>\frac{16}{40}>\frac{5}{40}\backslash frac\{30\}\{40\}\; >\; \backslash frac\{16\}\{40\}\; >\; \backslash frac\{5\}\{40\}$ oder $\frac{3}{4}>\frac{2}{5}>\frac{1}{8}\backslash frac\{3\}\{4\}\; >\; \backslash frac\{2\}\{5\}\; >\; \backslash frac\{1\}\{8\}$.

Dieses Vorgehen können wir auf irgendwelche Brüche anwenden: Wollen wir Brüche vergleichen, die weder den gleichen Zähler noch Nenner haben, so müssen wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, genannt Hauptnenner, erweitern. Dazu bestimmt man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der auftretenden Nenner und erweitert alle Brüche auf dieses Vielfache. Im obigen Beispiel war dies 40, und wir haben die Brüche mit 5, 8 bzw. 10 erweitert.

Welche der beiden Brüche ist größer?

$\frac{3}{5}\backslash frac\{3\}\{5\}$ oder $\frac{2}{5}\backslash frac\{2\}\{5\}$?

$\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$ oder $\frac{2}{7}\backslash frac\{2\}\{7\}$?

$\frac{5}{12}\backslash frac\{5\}\{12\}$ oder $\frac{3}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}$?

Gemischte Zahlen

Rechne die gemischte Zahl in einen Bruch um

$2\frac{1}{3}2\; \backslash frac\{1\}\{3\}$

Wandle den Bruch in eine gemischte Zahl um

$\frac{87}{5}\backslash frac\{87\}\{5\}$

Erweitern und Kürzen

Mit welcher Zahl wurde erweitert?

$\frac{1}{7}=\frac{5}{35}\backslash frac\{1\}\{7\}\; =\; \backslash frac\{5\}\{35\}$

$\frac{2}{11}=\frac{14}{77}\backslash frac\{2\}\{11\}\; =\; \backslash frac\{14\}\{77\}$

Erweitere $\frac{3}{7}\backslash frac\{3\}\{7\}$ mit der Zahl 4

Erweitere schrittweise

$\frac{2}{3}=\frac{}{6}=\frac{}{12}=\frac{}{24}\backslash frac\{2\}\{3\}\; =\; \backslash frac\{\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{\}\{12\}\; =\; \backslash frac\{\}\{24\}$

Mit welcher Zahl wurde gekürzt?

$\frac{54}{81}=\frac{6}{9}\backslash frac\{54\}\{81\}\; =\; \backslash frac\{6\}\{9\}$

$\frac{30}{57}=\frac{10}{19}\backslash frac\{30\}\{57\}\; =\; \backslash frac\{10\}\{19\}$

Suche die Kürzungszahl und bestimme den fehlenden Wert

$\frac{15}{35}=\frac{}{7}\backslash frac\{15\}\{35\}\; =\; \backslash frac\{\}\{7\}$

Größenvergleich von Brüchen

Ordne die folgenden Brüche der Größe nach (fange mit dem kleinsten Bruch an)

$\frac{2}{3},\frac{2}{6},\frac{2}{4},\frac{2}{12}\backslash frac\{2\}\{3\},\; \backslash frac\{2\}\{6\},\; \backslash frac\{2\}\{4\},\; \backslash frac\{2\}\{12\}$

$\frac{5}{12},\frac{2}{12},\frac{7}{12},\frac{1}{12},\frac{11}{12}\backslash frac\{5\}\{12\},\backslash frac\{2\}\{12\},\backslash frac\{7\}\{12\},\backslash frac\{1\}\{12\},\backslash frac\{11\}\{12\}$

$\frac{3}{5},\frac{1}{2},\frac{7}{10}\backslash frac\{3\}\{5\},\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash frac\{7\}\{10\}$

Welche der beiden Brüche ist größer?

$\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$ oder $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$?

$\frac{3}{12}\backslash frac\{3\}\{12\}$ oder $\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$?

$\frac{7}{12}\backslash frac\{7\}\{12\}$ oder $\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$?

$\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$ oder $\frac{4}{6}\backslash frac\{4\}\{6\}$?