Regeln - Verhalten im Unendlichen

Wie du vielleicht erkennen kannst, gibt es doch ein paar Regeln nach denen man das Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion vorhersagen kann.

Dazu betrachten wir abschließend alle drei Forschungsbeispiele und versuchen dabei herauszufinden, wie der Verlauf der Polynomfunktion %%f%% von seinen Bestandteilen %%(q,p%% (und %%s%%)%%)%% abhängt.

%%f(x)=x^4+x^2%%

Graphen von 3 Parabeln

%%q(x)=x^4%%

%%p(x)=x^2%%

%%f(x)=x^4-x^2%%

Graphen von verschiedenen Funktionen

%%q(x)=x^4%%

%%p(x)=-x^2%%

%%f(x)=x^4+0,5 x^3-2x^2%%

Graphen von vier Funktionen

%%q(x)=x^4%%

%%s(x)=0,5x^3%%

%%p(x)=-2x^2%%

In allen drei Fällen nähert sich der Graph %%f%% dem Graphen von %%x^4%% für betragsmäßig große (also sehr große und sehr kleine) %%x%%-Werte. Bei unseren Forschungsbeispielen war %%x^4%% die Potenz mit dem höchsten Exponent.

Allgemein gilt:

Für betragsmäßig große %%x%%-Werte (also im Unendlichen) wird das Verhalten einer Polynomfunktion durch den Summanden mit dem höchsten vorkommenden Exponenten bestimmt.

Warum ist das so?

Betrachten wir unser drittes Forschungsbeispiel %%f(x)=x^4+0,5 x^3-2x^2%%.

Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, klammern wir die Potenz mit dem höchsten Exponenten aus (hier %%x^4%%):

%%f(x)=x^4+0,5 x^3-2x^2=x^4\cdot(1+\frac{0,5x^3}{x^4}-\frac{2x^2}{x^4})=x^4\cdot(1+\frac{0,5}{x}-\frac{2}{x^2})%%

Für große %%x%%-Werte nähern sich die Werte der Terme %%\frac{0,5}{x}%% und %%-\frac{2}{x^2}%% immer mehr der %%0%%. Damit nähert sich %%(1+\frac{0,5}{x}-\frac{2}{x^2})%% der %%1%%.

Daher bestimmt %%x^4%% für betragsmäßig große %%x%%-Werte das Verhalten von %%f%%.

Ähnlich kannst du bei jeder Polynomfunktion die Potenz mit dem höchsten Exponenten ausklammern und wirst zum entsprechenden Ergebnis kommen.

Wie bei Potenzfunktionen gibt es nur vier Möglichkeiten für den charakteristischen Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion.

Die vier charakteristischen Verläufe im Unendlichen sind...

"von links oben nach rechts oben"

z.B. %%f(x)=2x^4-x^3+1%% (%%2x^4%% bestimmt das Verhalten.)


"von links oben nach rechts unten"

z.B. %%f(x)=-2x^5-x^3+1%% (%%-2x^5%% bestimmt das Verhalten.)


"von links unten nach rechts oben"

z.B. %%f(x)=2x^5-x^3+1%% (%%2x^5%% bestimmt das Verhalten.)


"von links unten nach rechts unten"

z.B. %%f(x)=-2x^4-x^3+1%% (%%-2x^4%% bestimmt das Verhalten.)

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