Gegeben: $f(x) = x \cdot (x^2 - 9)$

Gesucht: Intervalle für die $f(x) > 0$

Faktorisiere zuerst $f$. Dies geht hier mit der 3. binomischen Formel $(a^2-b^2) = (a+b)\cdot(a-b)$

$f(x)=x\cdot(x^2−9)=x\cdot(x+3)\cdot(x−3)$

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen

Die drei Nullstellen bei $x_1=0,\; x_2=-3,\; x_3 = 3$ sind einfache Nullstellen.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]3, +\infty[$

Für $x$ im Intervall $]3,+\infty[$ ist $f(x)$ positiv, denn:

$f(x)=\underbrace{x}_{>0} \cdot \underbrace{(x+3)}_{>0} \cdot \underbrace{(x-3)}_{>0}$

Einfache Nullstelle bei $x=3$, also ist der Graph im Intervall $]0{,}3[$ im negativen Bereich.

Einfache Nullstelle bei $x=0$, also ist der Graph im Intervall $]-3{,}0[$ im positiven Bereich.

Einfache Nullstelle bei $x=3$, also ist der Graph im Intervall $]-\infty,-3[$ im negativen Bereich.

Gegeben: $f(x) = 0{,}5\cdot (x^2 - 8x + 16) \cdot (x+1)$

Gesucht: Intervalle mit $f(x) > 0$

Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel $(a^2 - 2ab + b^2) = (a-b)^2$.

$f(x) = 0{,}5 \cdot(x-4)^2 \cdot(x+1)$

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstelle bei $x_1 = 4$ ist eine doppelte Nullstelle, die bei $x_2=-1$ ist eine einfache.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]4, +\infty[$.

Für $x$ im Intervall $]4,+\infty[$ ist $f(x) > 0$, denn:

$f(x)=\underbrace{0{,}5}_{>0} \cdot \underbrace{(x-4)^2}_{>0} \cdot \underbrace{(x+1)}_{>0}$

Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.

Weil bei $4$ eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich da das Vorzeichen nicht.

Doppelte Nullstelle bei $x=4$, also ist der Graph im Intervall $]-1{,}4[$ ebenfalls im positiven Bereich.

Weil bei $-1$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei $x=-1$, also ist der Graph im Intervall $]-\infty,-1[$ im negativen Bereich.

Gegeben: $f(x) = 0{,}1 \cdot (x+2{,}5) \cdot(x^2 - x + \frac{1}{4}) \cdot (x-4)$

Geuscht: Intervalle mit $f(x) > 0$

Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel $(a^2 - 2ab + b^2) = (a-b)^2$

Dabei ist $a=x$ und $b = \frac{1}{2}$

$f(x) = 0{,}1 \cdot( x+2{,}5) \cdot (x-\frac{1}{2})^2 \cdot (x-4)$

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen

Die Nullstelle bei $x_1 = -2{,}5$ ist eine einfache, die bei $x_2 = \frac{1}{2}$ eine doppelte und die bei $x_3=4$ wieder eine einfache Nullstelle.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]4,+\infty[$

Für $x$ im Intervall $]4, + \infty[$ ist $f(x)$ positiv, denn:

$f(x)=\underbrace{0{,}1}_{>0} \cdot \underbrace{(x+2{,}5)}_{>0}\cdot \underbrace{(x−12)^2}_{>0} \cdot \underbrace{(x−4)}_{>0}$

Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.

Weil bei $4$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei $x = 4$, also ist der Graph im Intervall $]\frac{1}{2}, 4[$ im negativen Bereich.

Weil bei $\frac{1}{2}$ eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen nicht.

Doppelte Nullstelle bei $x = \frac{1}{2}$, also ist der Graph im Intervall $]-2{,}5 \;, \frac{1}{2}[$ ebenfalls im negativen Bereich.

Weil bei $-2{,}5$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei $x = -2{,}5$, also ist der Graph im Intervall $]-\infty, -2{,}5[$ im positiven Bereich.