Gegeben: $f(x)=x\cdot (x^2-9)$

Gesucht: Intervalle für die $f(x)>0$

Faktorisiere zuerst $f$. Dies geht hier mit der 3. binomischen Formel $(a^2-b^2)=(a+b)\cdot (a-b)$

$f(x)=x\cdot (x^2-9)=x\cdot (x+3)\cdot (x-3)$

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen

Die drei Nullstellen bei $x_1=0,x_2=-3,x_3=3$ sind einfache Nullstellen.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]3,+\infty [$

Für $x$ im Intervall $]3,+\infty [$ ist $f(x)$ positiv, denn:

$f(x)=\underset{>0}{\underbrace{x}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{(x+3)}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{(x-3)}}$

Einfache Nullstelle bei $x=3$, also ist der Graph im Intervall $]\mathrm{0,3}[$ im negativen Bereich.

Einfache Nullstelle bei $x=0$, also ist der Graph im Intervall $]-\mathrm{3,0}[$ im positiven Bereich.

Einfache Nullstelle bei $x=3$, also ist der Graph im Intervall $]-\infty ,-3[$ im negativen Bereich.

Gegeben: $f(x)=\mathrm{0,5}\cdot (x^2-8x+16)\cdot (x+1)$

Gesucht: Intervalle mit $f(x)>0$

Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel $(a^2-2ab+b^2)=(a-b{)}^2$.

$f(x)=\mathrm{0,5}\cdot (x-4{)}^2\cdot (x+1)$

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen.

Die Nullstelle bei $x_1=4$ ist eine doppelte Nullstelle, die bei $x_2=-1$ ist eine einfache.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]4,+\infty [$.

Für $x$ im Intervall $]4,+\infty [$ ist $f(x)>0$, denn:

$f(x)=\underset{>0}{\underbrace{\mathrm{0,5}}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{(x-4{)}^2}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{(x+1)}}$

Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.

Weil bei $4$ eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich da das Vorzeichen nicht.

Doppelte Nullstelle bei $x=4$, also ist der Graph im Intervall $]-\mathrm{1,4}[$ ebenfalls im positiven Bereich.

Weil bei $-1$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei $x=-1$, also ist der Graph im Intervall $]-\infty ,-1[$ im negativen Bereich.

Gegeben: $f(x)=\mathrm{0,1}\cdot (x+\mathrm{2,5})\cdot (x^2-x+\frac{1}{4})\cdot (x-4)$

Geuscht: Intervalle mit $f(x)>0$

Faktorisiere zuerst den Term. Dies geht hier mit der 2. binomischen Formel $(a^2-2ab+b^2)=(a-b{)}^2$

Dabei ist $a=x$ und $b=\frac{1}{2}$

$f(x)=\mathrm{0,1}\cdot (x+\mathrm{2,5})\cdot (x-\frac{1}{2}{)}^2\cdot (x-4)$

Bestimme die Vielfachheiten der Nullstellen

Die Nullstelle bei $x_1=-\mathrm{2,5}$ ist eine einfache, die bei $x_2=\frac{1}{2}$ eine doppelte und die bei $x_3=4$ wieder eine einfache Nullstelle.

Bestimme jetzt noch das Vorzeichen in einem Bereich. Zum Beispiel in dem Bereich $]4,+\infty [$

Für $x$ im Intervall $]4,+\infty [$ ist $f(x)$ positiv, denn:

$f(x)=\underset{>0}{\underbrace{\mathrm{0,1}}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{(x+\mathrm{2,5})}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{(x-12{)}^2}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{(x-4)}}$

Bestimme jetzt den Verlauf mithilfe der Vielfachheiten.

Weil bei $4$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei $x=4$, also ist der Graph im Intervall $]\frac{1}{2},4[$ im negativen Bereich.

Weil bei $\frac{1}{2}$ eine doppelte Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen nicht.

Doppelte Nullstelle bei $x=\frac{1}{2}$, also ist der Graph im Intervall $]-\mathrm{2,5},\frac{1}{2}[$ ebenfalls im negativen Bereich.

Weil bei $-\mathrm{2,5}$ eine einfache Nullstelle ist, ändert sich dort das Vorzeichen.

Einfache Nullstelle bei $x=-\mathrm{2,5}$, also ist der Graph im Intervall $]-\infty ,-\mathrm{2,5}[$ im positiven Bereich.